Volume diferente usando métodos de shell e disco

Question

Estou tentando descobrir meu erro há um tempo, mas não consigo encontrar um. Talvez eu esteja perdendo um buraco que está presente?

Eu tentei o volume da região delimitada entre $x=1$, $x=3$ e uma função linear $y=x-1$, Além disso $x = 0$ girando essa região sobre o $y$-eixo. Minha primeira tentativa foi usar o Método de Disco, definido como

$\begin{align}V=\displaystyle{\pi \int_{y_1}^{y_2}}(f(y))^2dy=\displaystyle{\pi \int_{0}^{2}}(y+1)^2dy=\dfrac{26}{3}\pi\end{align}$

Em seguida, tentei resolver esse problema usando o Método Shell e obtive uma resposta diferente:

$V=\displaystyle{2\pi \int_{x_1}^{x_2}xf(x)dx}=2\pi\int_{1}^{3}x(x-1)dx=\dfrac{28}{3}\pi$

Tenho tentado descobrir meu erro por um tempo, tentando diferentes calculadoras e WolframAlpha, mas não consigo acertar, talvez esteja faltando algum conceito essencial? Minhas desculpas se minha formatação não parece boa, pois esta é minha primeira pergunta aqui.

Eu apreciaria se alguém pudesse me indicar a direção certa.

Answer 1

Seu método de disco está desativado. Isso funciona quando a região se opõe ao$y$-eixo. É quando você pode fatiar o sólido de revolução em discos e encontrar seu volume como cilindros planos.

Sua região, no entanto, é dividida nas chamadas arruelas (faça uma pesquisa de imagem por "hardware de lavadora" e provavelmente obterá muitas imagens de como elas se parecem; outra analogia visual comum é uma moeda com um furo) . E o volume de uma arruela é melhor encontrado enchendo o orifício, calcule o volume do disco resultante e subtraia o volume do orifício. Isso atualiza o método do disco para o método do lavador.

O raio externo das arruelas é $3$, e o raio interno é $y+1$. O que quer dizer, a integral deve realmente ser$$ \pi\int_0^2\big(3^2-(y+1)^2\big)dy $$

Answer 2

Por método de disco, temos

$$V=\pi \int_{0}^{2}\left[3^2-(f(y))^2\right]dy=\pi \int_{0}^{2}(8-y^2-2y)dy=\frac{28}{3}\pi$$

Vamos desenhar um esboço plano para o volume a fim de ver por que a outra maneira está errada.