Wronskian, Dependência Linear e Construção de ODE

Question

Eu já entendo que para a ODE de segunda ordem, linear e homogênea, se o Wronskian de duas soluções para a ODE (ou funções que satisfazem a ODE) for zero em um determinado ponto, as funções são linearmente dependentes.

Em outro lugar (fonte embaixo), foi escrito que se Wronskian for zero em um determinado ponto, não é necessário que sejam linearmente dependentes. Como um exemplo,

para f (x) = x, g (x) = sin (x), encontramos W (f, g) = x cos (x) - sin (x) que é diferente de zero, por exemplo, em x = π. Portanto, x e sin (x) são Linearmente Independentes. Observe que W (f, g) pode ser zero em algum ponto, como x = 0.

A única maneira de resolver essas duas afirmações é dizendo que você não pode construir uma ODE de segunda ordem, linear e homogênea que tenha essas duas funções, xe sin (x) como suas soluções (ou seja, elas satisfazem a ODE).

Não sei como provar isso formalmente, exceto que observo que sin (x) já é a solução de ODE de segunda ordem, linear e homogênea, da qual x não é uma solução, portanto, adicioná-lo pode resultar em um terceiro pedir ou dizer ODE não linear.

Então, como podemos realmente resolver essas declarações e podemos provar que não podemos construir uma ODE conforme exigido acima?

EDIT: Esta questão foi resolvida antes, mas eu tenho uma dúvida na solução por mathcounterexamples.net agora: por que não podemos mudar o coeficiente de y '' para a função no denominador (xcos (x) - sin (x)) ?

Fonte: https://home.iitk.ac.in/~sghorai/TEACHING/MTH203/ode7.pdf ou https://drive.google.com/file/d/1OGRE00YNB0kjVHam9ZSpsDQfba0PxkYG/view?usp=sharing

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Declaração relevante:

Teorema 3: Duas soluções$y_1,y_2$ do $$ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, \quad x \in \mathcal I $$ são linearmente dependentes se $W(y_1,y_2) = 0$ em um determinado ponto $x_0 \in \mathcal I$.

Answer 1

Dica

Levar $a,b$ mapas reais para definir qualquer segunda ordem, linear, homogênea, ODE necessária

$$y^{\prime \prime}(x) =a(x)y^\prime(x) +b(x)y(x)$$

e deduzir uma contradição se $x, \sin x$ são ambas as soluções.

De fato, $x$ solução implica $a(x)=-xb(x)$. Enquanto se$\sin x $ é uma solução

$$-\sin x =- x \cos x b(x)+ \sin x b(x)$$

e

$$b(x)=\frac{\sin x}{-\sin x + x \cos x}$$ que não é contínuo em zero.