Применить условную вероятность дважды

Question

По закону полной вероятности я знаю, что $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$. Применяя ту же логику, я хотел бы сказать, что$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ Однако я знаю, что этот вывод неверен, потому что, когда вы расширяете вероятности, LHS не соответствует RHS.

Как я мог правильно расширить $P(A|B)$ обусловив другое событие, скажем $C$?

Answer 1

$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$

$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$