Связь между количеством решений $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ и норм-евклидовы кубические поля Галуа

Aug 20 2020

Недавно я столкнулся со следующей проблемой:

"Найдите минимальное значение $m \in \Bbb N$ такой, что $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ имеет по крайней мере $n$решения. Обратите внимание, что значения$x$ которые соответствуют моде $m$ считаются одним и тем же решением ".

Я не смог придумать никакого подхода. Однако с помощью программы я смог вычислить следующие результаты и наблюдать закономерность:

  • За $n \leq 3$, наименьший $m$ был $7$.

  • За $3 <n \leq 9$, наименьший $m$ был $63 = 7 \cdot 9$.

  • За $9 <n \leq 27$, наименьший $m$ был $819 = 7 \cdot 9 \cdot 13$.

  • За $27 <n \leq 81$, наименьший $m$ был $15561 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19$.

  • За $81 <n \leq 243$, наименьший $m$ был $482391 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31$.

  • За $243 <n \leq 729$, наименьший $m$ был $17848467 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37$.

  • За $729 <n \leq 2187$, наименьший $m$ был $767484081 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 43$.

Быстрый поиск $7, 9, 13, 19, 31, 37, 43$на OEIS дала конечную последовательность квадратных корней дискриминантов норм-евклидовых кубических полей Галуа . Он также соответствует последовательности квадратных корней дискриминантов полей кубических чисел Галуа, обладающих нормальным евклидовым классом идеалов .

Однако я не уверен, что с этим делать, поскольку я только начал изучать модульную арифметику. Поэтому я хотел бы спросить: как вышеуказанное модульное уравнение связано с алгебраической теорией чисел? Почему ценности$n$ограничены степенями трех? Есть ли более простой способ найти нужный$m$ данный $n$? Каковы последствия конечности полей?

Ответы

3 JyrkiLahtonen Aug 20 2020 at 20:52

Для решения вашего первоначального вопроса вам не нужна алгебраическая теория чисел. Когда-либо полезная китайская теорема об остатках - это более или менее все, что вам нужно.

Если $m=\prod_ip_i^{a_i}$ разложение на простые множители $m$, то CRT говорит, что у нас есть изоморфизм мультипликативных групп $$ \Bbb{Z}_m^*=\bigoplus_j\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*. $$ Вы ищите количество элементов заказа $3$ (или $1$) в этой группе. Премьер$p=2$неинтересно. Для всех простых чисел$p_i>2$ хорошо известно, что $\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*$ цикличен по порядку $\phi(p_i^{a_i})=(p_i-1)p_i^{a_i-1}.$

Отсюда следует, что количество решений $x^3\equiv1\pmod{p_i^{a_i}}$ будет три, если у нас есть $p_i=3, a_i>1$, или $p_i\equiv1\pmod3$.

Обратите внимание, что все простые множители найденных вами чисел соответствуют этому критерию. Во всяком случае, мы далее наблюдаем, что

  • По CRT количество решений $x^3\equiv1\pmod m$ является произведением количества решений одного и того же сравнения по модулю простых факторов мощности $p_i^{a_i}$.
  • Итак, в целях минимизации $m$ это бессмысленно для $m$ иметь любые простые множители, кроме $3^2$ и $p_i^1, p_i\equiv1\pmod3$.

Все числа, которые вы нашли, являются продуктами $9$ и наименьшие различные простые числа $\equiv1\pmod3$. Это все, что нужно сделать.