Hyperplane มีมุมของ Simplex กี่มุม?
มี $K$ จุดอิสระเชิงเส้นบน $N-1$ มิติด้านเดียว: $$x^{1}, \ldots, x^{K} \in \Delta^{N-1}$$ $$x^{k} = (x^{k}_{1}, \ldots, x^{k}_{N})$$ ฉันต้องการพิสูจน์ว่ามีอยู่จริง $K$ "มุม" ของช่วงของ $x^{1}, \ldots, x^{K}$ บนซิมเพล็กซ์: $$y^{1}, \ldots, y^{K} \in \Delta^{N-1}$$
$$\mathcal{A} = \text{span}\left(\left\{ x^{1}, \ldots, x^{K} \right\}\right) \cap \Delta^{N-1}$$
เช่นนั้นทุกจุดค่ะ $\mathcal{A}$เป็นนูนรวมกันของ$y^{1}, \ldots, y^{K}$.
ความเป็นมา: ฉันพยายามแก้ไขคำถามนี้แล้ว (ขออภัยสัญกรณ์ไม่ได้เรียงกันอย่างสมบูรณ์) ความคิดก็คือ$x^{k}$ เป็นหนึ่งใน $K$ แถวอิสระของเมทริกซ์และ $y^{k}$ คือการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรสุ่มใหม่ $X^{k}$ ไม่ขึ้นกับ $Y$. จากนั้นเราสามารถสร้างตัวแปรสุ่มใหม่$\omega$ ขึ้นอยู่กับ $Y$ ด้วยการสนับสนุน $\{1, \ldots, K\}$ ดังนั้น:
$$X = \sum_{k=1}^{K} X^{k} \mathbb{1}_{\omega=k}$$
โดยให้การแจกแจงความน่าจะเป็นของ $\omega | Y$ เป็นน้ำหนักนูนที่เหมาะสมของ $y^{1}, \ldots, y^{k}$. ฉันคิดว่าความแปรปรวนของ$\omega$ ยังให้การวัดผลต่อเนื่องที่ดีสำหรับคำถามเดิม
ความพยายาม: ฉันพยายามสร้างโครงสร้างแบบวนซ้ำโดยที่ฉันรวมเวกเตอร์พื้นฐานในไฟล์ $\mathcal{A}$จากนั้นจึงรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานสองตัวเข้าด้วยกัน $\mathcal{A}$ ไม่ได้ถูกขยายโดยเวกเตอร์ที่ฉันรวมไว้แล้ว "เป็นต้น" จนกว่าฉันจะสร้าง $y^{1}, \ldots, y^{K}$. ฉันไม่รู้ว่าจะดำเนินการอย่างไรต่อไปอย่างเป็นระเบียบซึ่งสร้างไฟล์$K$ คะแนน (หรือถ้าเป็นแนวทางที่ง่ายที่สุด)
คำตอบ
คุณกำลังขอหลักฐานว่า (เหนือสิ่งอื่นใด) ชิ้นระนาบผ่านจัตุรมุขทึบในช่องว่างสามช่องต้องเป็นสามเหลี่ยม
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่ล้มเหลว:
ปล่อย $K=3, N=4$, ปล่อยให้ $K$ จุดอิสระเชิงเส้นใน $\mathbb R^4$ เป็น
$$x^1=(1/2,0,1/2,0)\\x^2=(0,1/2,1/2,0)\\x^3=(0,1/2,0,1/2)$$ และปล่อยให้ $$x^4=(1/2,0,0,1/2).$$ ปล่อย $\mathcal A=\operatorname{span}(\{x^1,x^2,x^3\})\cap \Delta^3$. โปรดทราบว่า$x^4=x^1-x^2+x^3\in \operatorname{span}(\{x^1,x^2,x^3\})$, นั่น $x^4\in\Delta^3$และนั่น $\mathcal A$ คือตัวถังนูนของ $\{x^1,x^2,x^3,x^4\}$และนั่น $\mathcal A$ มีสี่ $x^j$ ในฐานะที่เป็นจุดสุดโต่ง "มุม" ที่ต้องการ