Bir kapta tuz - ODE sorunu

Question

1000 litreye kadar alabilen su kabı ile çalışıyoruz. Su kabı başlangıçta 20 kg tuzun çözüldüğü 500 litre su içerir. Kapta çalkalama var, bu nedenle tuz konsantrasyonu her yerde aynı.

Temiz su, 4L / dak hızla kaba akar. Aynı zamanda tuzlu su 2L / dak hızla kaptan dışarı akar. Bu, konteyner yalnızca 1000L'de olduğu için sorunlara neden olur. Bir süre sonra, dolu bir kap nedeniyle bir alarm çalar.

(a) Alarm ne zaman çalar?

Bu sorunu tanımlayan diferansiyel denklem şu şekilde verilmektedir:

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

Alarm çaldığında tuz içeriğinin 10kg olduğu belirtiliyor, yani $y(250)=10$. Alarm çaldığı gibi, giriş akışı değişir, böylece tuzlu su artık başına 35 g tuzla akar. 1L / dak oranında litre. Hala başına 2L akıyor. dakika.

(b) Kapta yine 500L varken kapta ne kadar tuz var?

---

Cevabım: (a) oldukça kolaydı, alarmın 250 dakika sonra çalacağını anladım. $500+2\cdot 250=1000$ve sonra alarm çalacaktır. Ama son kısım, yani (b) benim için kolay değil. Az önce aldığım bilgilerden bir ODE yapmam gerektiğine inanıyorum ama burada birçok kez denedim. Dikkat edin, bu sorun daha fazla soru olan bir kitaptan geliyor, sadece ilgili kısmı seçtim. (b) ayrıca kitapta "gönüllü" olarak da belirtilmiştir. Bunun bir ev ödevi sorunu olmadığına dikkat edin.

Answer 1

(B) bölümü için,

var $1000$ başlamak için litre su $10$ kg tuz.

Su hacmi 1 litre / dakika (dakikada 1 litre akan ve 2 litre akan) oranında azalmaktadır. Sürer$500$ azaltmak için dakika $1000$ litre ila $500$ litre.

Böylece tankta bir süre sonra kalan su hacmi $t$ dakika $= 1000 - t$

Tuz hızla akıyor $0.035$ kg / dak.

Orada olduğunu söyle $y$ belirli bir zamanda kg tuz $t$ içinde $1000-t$ litre su.

O zaman zaman $t$, tuz hızla akıyor $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (gibi $2$ dakikada litre akan)

Yani tuz değişim oranı $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

Diyelimki $x = 1000 - t$ sonra ikame ile,

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(ben)

Şimdi bu doğrusal denklemi çözmek için integral faktörünü kullanmalıyız. Doğrulamak için WolframAlpha'yı kullandım.

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

İki tarafı da çarparak $\mu$ (i) 'de

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

Geri ikame $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

Şurada: $t = 0$, var $10$ kg tuz.

$10 = 35 + c \times 1000^2$

Yani, sabit $c = -\frac{25}{1000^2}$

Şurada: $t = 500$,

Toplam tuz $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ kilogram.