Brown hareketleri

Question

Eğer $A_t$ ve $B_t$ bağımsız Brown hareketleridir ve $a$ bir sayıdır diyebilir miyiz $(\sin a )A_t+ (\cos a) B_t$ aynı zamanda bir Brown hareketi mi?

Answer 1

Eğer $A_t$ ve $B_t$ bağımsız Brownian hareketleridir, o zaman $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ merkezli bir Gauss sürecidir (bağımsızlık nedeniyle, $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ kanun var $N(0,(\sin(a)^2+\cos(a)^2)t)=N(0,t)$ sabit $t$) ve sürecin kovaryansı

$$K(s,t)=\operatorname{Cov}(\sin(a)A_s+\cos(a)B_s,\sin(a)A_t+\cos(a)B_t)=\sin(a)^2s\wedge t+\cos(a)^2s\wedge t+0=s\wedge t$$

nerede $s\wedge t$ (minimum $s$ ve $t$) gerçeğinden gelir $A_t$ ve $B_t$ Brown hareketleri ve $0$ gerçeğinden gelir $A_t$ ve $B_s$ bağımsızdır.

Biz gösterdik $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ kovaryansı olan merkezli bir Gauss sürecidir $K(s,t)=s\wedge t$. Açıktır ki, bir sabit ile çarpma sürekliliği koruduğu ve iki sürekli fonksiyonun toplamı sürekliliği olduğu için yörüngeler hala süreklidir. Bu, Brown hareketini karakterize eder, bu yüzden evet, bu kesinlikle bir kez daha Brown hareketidir.