Çılgınca süreksiz doğrusal işlevler

Question

İzin Vermek $X$ Banach alanı olun, $H\subseteq X$ yoğun bir hiper düzlem olmak ve $f$bir şekilde sürekli bir doğrusal fonksiyonel tanımlanan$H$. Sonra$f$ üniform olarak süreklidir ve dolayısıyla benzersiz bir sürekli uzantıya izin verir. $X$.

Bununla birlikte, bunun yerine süreksiz bir doğrusal işlev seçelim$g$ genişleyen $f$ bütününe $X$.

Bunu kimse söyleyemez $g$ çok kötü çünkü sonuçta büyük bir altuzayla kısıtlanması, yani $H$, süreklidir.

Her Banach alanı, her sonsuz boyutlu alt uzay ile sınırlandırıldığında sıfır veya süreksiz olan doğrusal bir işlevi kabul ediyor mu?

Böylesi bir işlevin çekirdeği, her sonsuz boyutlu alt uzay ile yoğun bir kesişime sahip olacaktır.

Answer 1

Sıfır olmayan doğrusal işlev, istediğiniz özelliğe sahip değildir. Varsayalım$F$sıfır olmayan doğrusal bir işlevdir. Seç$x$ st $F(x)=1$. İzin Vermek$G$ sürekli doğrusal bir işlevsel st olmak $G(x)=1$. İzin Vermek$Y$ çekirdeklerin kesişimi olmak $F$ ve $G$, Böylece $Y$ ortak boyuta sahip $2$. Sonra$F$ doğrusal açıklıkta süreklidir $Y$ ve $x$ dan beri $F$ ile aynı fikirde $G$ bu eş boyutta bir altuzay.