Eğrilik operatörünün özdeğerleri nelerdir? $\mathbb{C}P(2)$?

Question

Bunu stackexchange'de sormayı denedim ama başarısız oldu.

Peter Petersen'in Riemannian Geometry bölümünün 4.5.3 sayfasının 150. sayfasında , bir birimdik taban verildiğinde,$X,iX,Y,iY$ için $T_p\mathbb{C}P^2$, aşağıdaki temel eğrilik operatörünü köşegenleştirir $\mathfrak{R}:\Lambda^2T_p\mathbb{C}P^2 \to \Lambda^2T_p\mathbb{C}P^2 $:

\begin{align*} &X \wedge iX \pm Y \wedge iY\\ & X \wedge Y \pm iX \wedge iY \\ & X \wedge iY \pm Y \wedge iX \end{align*}

özdeğerlerin içinde yattığı $[0,6]$. O'Neill formülünü kullanarak hesaplamaları denedim ama takılı kaldım. Örneğin varsayalım$\mathfrak{R}(X \wedge iX + Y \wedge iY)=c \left(X \wedge iX + Y \wedge iY\right)$. Sonra:

\begin{align*} g(\mathfrak{R}(X \wedge iX + Y \wedge iY),X \wedge iX + Y \wedge iY)&=cg(X \wedge iX + Y \wedge iY,X \wedge iX + Y \wedge iY)\\ &=2c \end{align*}

ve tanımına göre $\mathfrak{R}$:

\begin{align*} &g(\mathfrak{R}(X \wedge iX + Y \wedge iY),X \wedge iX + Y \wedge iY) \\ &=R(X,iX,iX,X)+R(Y,iY,iY,Y)+2R(X,iX,iY,Y) \\ &=\sec(X,iX)+\sec(Y,iY)+2R(X,iX,iY,Y) \\ &=8+2R(X,iX,iY,Y) \end{align*}

yani:

\begin{align*}2c &= 8+2R(X,iX,iY,Y) \\ c&=4+R(X,iX,iY,Y) \end{align*}

Bu noktada nasıl ilerleyeceğimi bilmiyorum. Genişletmek için bir formül biliyorum$R(X,iX,iY,Y)$kesitsel eğrilikler açısından ancak oldukça karmaşıktır. Alternatif olarak, elimizdeki O'Neill formülüne geri dönersek:

\begin{align*}R(X,iX,iY,Y)=&\overline{R}(\overline{X},\overline{iX},\overline{iY},\overline{Y})+\frac14 \overline{g} ([\overline{iX},\overline{Y} ],[\overline{X},\overline{iY}])-\frac14 \overline{g}([\overline{X},\overline{Y}],[\overline{iX},\overline{iY}]) \\ &+ \frac12 \overline{g} ([ \overline{X},\overline{iX}],[\overline{iY},\overline{Y}] )\end{align*}

nerede $\overline{R}$ eğrilik tensörünü gösterir $S^5$, $\overline{g}$ metriği gösterir $S^5$, ve $\overline{V}$yatay bir yükselmeyi ifade eder. Dan beri$X,iX,Y,iY$ ortonormaldir ve asansörleri de ortonormaldir sanırım $\overline{R}(\overline{X},\overline{iX},\overline{iY},\overline{Y})=0$ yani biz kaldık

\begin{align*}R(X,iX,iY,Y)=&\frac14 \overline{g} ([\overline{iX},\overline{Y} ],[\overline{X},\overline{iY}])-\frac14 \overline{g}([\overline{X},\overline{Y}],[\overline{iX},\overline{iY}]) + \frac12 \overline{g} ([ \overline{X},\overline{iX}],[\overline{iY},\overline{Y}] )\end{align*}

Bunu çalıştırmayı kolaylaştıracak bir şeyi kaçırdım mı?

düzenleme: İlk fikri takip ettim (genişleyerek $R(X,iX,iY,Y)$ kesit eğriliği açısından) ve özdeğerlerin $0,0,2,2,2,6$. Verilen$\mathbb{C}P(2)$ Einstein sabitiyle Einstein mı $6$ ve Skaler eğrilik $12$, Özdeğerlerin doğru olduğuna inanmaya meyilliyim (toplamları eşit olduğu için $12$).

Answer 1

Belki de bunu doğrudan yapı denklemlerinden hesaplamak daha kolay olurdu. Örneğin, eğrilik operatörünün özdeğerlerini hesaplamak istediğimizi varsayalım.$\mathbb{CP}^n=\mathrm{SU}(n{+}1)/\mathrm{U}(n)$. Onların olduğunu iddia ediyorum$0$ çokluk ile $n(n{-}1)$, $2$ çokluk ile $n^2{-}1$, ve $2(n{+}1)$ çokluk ile $1$. Bunu şu şekilde görebilirsiniz: Solda değişmeyen formu$\mathrm{SU}(n+1)$ gibi $$ \lambda = \begin{pmatrix} -i\,n\,\rho & -^t\omega+i\,^t\eta\\ \omega+i\,\eta &\alpha + i\rho\,I_n + i\,\beta\end{pmatrix} $$ nerede $\omega$ ve $\eta$ yüksek sütunlar $n$, $\alpha = -\ ^t\alpha$ ve $\beta = {}^t\beta$ süre $\mathrm{tr}(\beta)=0$. Metriğin geri çekilmesi$\mathbb{CP}^n$ -e $\mathrm{SU}(n{+}1)$ ikinci dereceden form $g = \ ^t\omega\circ\omega + ^t\eta\circ\eta$. Maurer-Cartan denklemi$\mathrm{d}\lambda = -\lambda\wedge\lambda$ paketleri açmak $$ \mathrm{d}\begin{pmatrix}\omega\\ \eta\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}\alpha & -(n{+}1)\rho I_n-\beta \\ (n{+}1)\rho I_n+\beta & \alpha \end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}\omega \\ \eta\end{pmatrix} $$ denklemlerle birlikte $$ \begin{align} \mathrm{d}\rho &= -2/n\,{}^t\omega\wedge\eta\\ \mathrm{d}\alpha + \alpha\wedge\alpha - \beta\wedge\beta &= \omega\wedge {}^t\omega + \eta \wedge {}^t\eta\\ \mathrm{d}\beta +\beta\wedge\alpha-\alpha\wedge\beta &= \eta\wedge {}^t\omega- \omega\wedge {}^t\eta + (2/n) {}^t\omega\wedge\eta\, I_n\,. \end{align} $$ Sonuç olarak, matris $$ \theta = \begin{pmatrix}\alpha & -(n{+}1)\rho I_n-\beta \\ (n{+}1)\rho I_n+\beta & \alpha \end{pmatrix} $$ metrik için Levi-Civita bağlantı matrisidir $g$ve eğriliği $$ \begin{align} \Theta &= \mathrm{d}\theta+\theta\wedge\theta\\ &= \begin{pmatrix}\omega\wedge {}^t\omega + \eta \wedge {}^t\eta & 2\,{}^t\omega\wedge\eta\,I_n -\eta\wedge {}^t\omega+\omega\wedge {}^t\eta \\ -2\,{}^t\omega\wedge\eta\,I_n +\eta\wedge {}^t\omega- \omega\wedge {}^t\eta & \omega\wedge {}^t\omega + \eta \wedge {}^t\eta \end{pmatrix}. \end{align} $$ Şimdi, $\theta$ (ve dolayısıyla $\Theta$) alt cebirde değerler alır ${\frak{u}}(n)\subset{\frak{so}}(2n)\simeq\Lambda^2(\mathbb{R}^{2n})$, nerede ${\frak{u}}(n) = {\mathbb{R}}\cdot J + {\frak{su}}(n)$ ile $J = \begin{pmatrix} 0_n & I_n\\ -I_n & 0_n\end{pmatrix}$ ve ${\frak{su}}(n)$ formun çarpık simetrik matrisleri olmak $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$ nerede $a$ dır-dir $n$-tarafından-$n$ çarpık simetrik ve $b$ dır-dir $n$-tarafından-$n$simetrik ve iz bırakmaz. Eğrilik operatörünün$R$ (simetrik olan) içindeki her şeyi yok eder ${\frak{u}}(n)^\perp\subset {\frak{so}}(2n)$, bir vektör boyut uzayı $n(n{-}1)$, bu nedenle bu çekirdek özvektörlerinin hepsinin öz değeri var $0$. Almak$J$-in izi $\Theta$bunu görüyoruz $R$ vardır $J$ özdeğerin özvektörü olarak $2(n{+}1)$. Alt uzay${\frak{su}}(n)$ indirgenemez ve haritasının çıkarılması gerekir $R$ kendisinin skaler katına ve tipik bir elemanla eşleştiğinde, çarpanın $2$. Böylece,$2$ çokluğun bir özdeğeridir $n^2{-}1$boyutu ${\frak{su}}(n)$.