$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ her teori için $T$her kardinal $\lambda$.

Question

İzin Vermek $T$ tam bir birinci dereceden teori olabilir.

Varsayım $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$açık mı $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? Soru, Vaught'ın wikipedia'daki varsayımına bakarak teşvik edildi. Çok fazla model teorisi bilgim yok, bu yüzden açık olabilir ve sadece aptalca davranıyorum veya henüz ele almadığım teknolojiyi kullanıyor olabilir. Yoksa bu belki de sadece$\lambda = \aleph_0$ ?

Aklıma gelen tek şey, izomorfik olmayan modellerin sayısını hangi türleri karşıladıklarına bağlı olarak saymaktır, ancak bunun pek işe yaradığını düşünmüyorum.

Answer 1

Tarif ettiğiniz ortamda en fazla var $2^\lambda$ $L$-yapılar ve dolayısıyla kesinlikle $2^\lambda$ modellerin izomorfizm sınıfları $T$.

Düzelt bir $\lambda \geq |L|+\aleph_0$ve izin ver $M$ bir dizi önemli olmak $\lambda$.

Her biri için $n$-ary işlev sembolü $f$ yorumlamalıyız $f$ işlev olarak $f : M^n \to M$. Tam olarak var$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$aralarından seçim yapabileceğiniz bu tür birçok işlev. Benzer şekilde, her biri için$n$elimizdeki -ary ilişki sembolü $2^\lambda$ seçilebilecek seçenekler ve her bir sabit sembol için yalnızca $\lambda$ seçim için seçenekler.

Böylece, sahip olduğumuz dildeki her sembol için en fazla $2^\lambda$seçimler. En çok olduğu için$\lambda$ dildeki semboller, yapmamız gereken toplam seçim sayısı en fazla $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.