İntegral Hesap, Sonsuz Küçük

Question

Entegre etmek $y=f(x)$ itibaren $a$ -e $b$ işlevi küçük genişlikli dikdörtgenlere ayırıyoruz $dx$. Böylece$n$-nci dikdörtgen $n\,dx$ itibaren $a$ üzerinde $x$eksen. Orada olsun$t$ arasındaki dikdörtgenler $a$ ve $b$. Bu nedenle$b=a+t\,dx$. Fakat$t\,dx$ herhangi bir pozitif Tamsayı için çok küçük olacaktır $t$Infinitesimals'ın özelliklerinden dolayı. Peki nasıl ulaşacak$b$? Kalkülüs ve sonsuz küçüklerle ilgili herhangi bir yanılgı var mı?

Answer 1

Steven Strogatz, Sonsuz Güçler adlı kitabında , tam da sizin tanımladığınız bu soruna değiniyor. 'Tamamlanmış sonsuzluk' ve 'potansiyel sonsuzluk' arasındaki farkı değerlendirir. Yakında özel sorununuza geleceğim, ancak önce neler olup bittiğini belirlemenize yardımcı olan benzer bir sorunu anlatacağım.

Bildiğiniz gibi, matematikte sıfıra bölmeye izin verilmez. Bununla birlikte, birçok insan yanlış inancı paylaşıyor:$$ 1/0 = \infty $$Bu neden? Eğitimli bir matematikçi yukarıdaki ifadeye hakaret edebilir, ama aslında bu çok mantıklı; yanlış , ama makul. Şuna bir bak:\begin{align} 1/0.1&=10 \\ 1/0.01&=100 \\ 1/0.001&=1000 \\ 1/0.0001&=10000 \\ 1/0.00001&=100000 \\ &\,\,\,\vdots \end{align} Gibi $x$ yaklaşımlar $0$, $1/x$ yaklaşımlar sonsuz. Bu nedenle,$1/0=\infty$. Ama bekleyin, gösterdiğimiz bu değil. Gösterdiğimiz şey şudur:$x$ yaklaşıyor ve yaklaşıyor $0$, $1/x$gittikçe büyüyor. Kalkülüs giriş derslerinde sıklıkla gözden geçirilen bu iki ifade arasında çok önemli bir ayrım vardır. Davaya ulaştığınızda$1/0$her türden paradoks ortaya çıkar ve bu nedenle $1/0$olduğunu tanımsız . Ancak ne düşünürsek$1/0$olabilir veya olmayabilir tamamen verimsiz bir egzersiz değildir. Aksine, analizdeki en önemli araçlardan birini bize gösterebilir: sınırı. Grafiğine bir göz atalım$y=1/x$:

Gördüğünüz gibi$1/x$ mesafeye ateş ediyor $x$ yaklaşıyor ve yaklaşıyor $0$. Ne diyemeyiz$1/0$ is ; ne diyebiliriz$x$ yaklaşıyor ve yaklaşıyor $0$, $1/x$gittikçe büyüyor. Bu resmi olarak şöyle yazılmıştır$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty $$ Ama bekleyin, bu da pek doğru değil! $1/x$ sadece sonsuza * yaklaştığı zaman $x$ yaklaşımlar $0$olumlu uçtan. Farzedelim$x$ gittikçe yaklaşan negatif bir sayıdır $0$? Sonra,$1/x$ yaklaşımlar $-$sonsuzluk. Belki bunu yazabiliriz$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\pm\infty $$ancak matematikçiler, limitlerin tek ve kesin bir değeri olmasından hoşlanır. Bu nedenle, yukarıdaki ifadelerin ikisi de yanlış ve yazmamız gereken şey şudur:$$ \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty \text{ and } \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty $$ (Küçük '$+$hemen yanında $0$ durumu düşündüğümüzü belirtir $x$ yaklaşan pozitif bir sayıdır $0$. Aynı şekilde, '$-$' anlamına geliyor $x$ yaklaşan negatif bir sayıdır $0$.)

Tüm küçük detaylar sizin için tam anlamıyla bir anlam ifade etmiyorsa endişelenmeyin. Sadece şu iki önemli gerçeği hatırlamaya çalışın:

1. Matematikte matematikçiler sınırlarla çalışır .
2. Gibi limitleri hesaplamaya çalışırken $1/x$ gibi $x$ yaklaşımlar $0$gerçek şu ki $1/0$tanımsız ne burada ne de orada. 'Sıfıra geldiğimizde' ne olacağını anlamaya çalışmıyoruz. Bunun yerine, gittikçe yaklaştıkça neler olduğuna bakıyoruz.$0$hem pozitif hem de negatif yönden. **

Şimdi sınırlar hakkında öğrendiklerimizi sonsuz küçükler hakkında bildiğimizi düşündüğümüz şeylerle karşılaştıralım . Kafamdaki sonsuz küçük kavramıyla ilgili en büyük sorun, 'mümkün olan en küçük sayı' olduğunu öne sürmeleridir. Aslında, standart gerçek sayılarla çalışırken böyle bir şey yoktur. Bu sezgisel olarak aşikar olmalıdır: ne kadar aşağıya inerseniz, her zaman daha aşağıya gidebilirsiniz. Ayrıca şu fikre sempati duyabilirsiniz:$$ 1/\text{infinitesimal}=\infty $$Yine, bu sorunludur, çünkü sonsuzluğa bir sayı gibi davrandığı için değil. Bu nedenle, birisi 'sonsuz küçük' veya 'sonsuz küçük' sözcüklerinden bahsettiğinde son derece dikkatli olmalıyız. Genellikle yaptıklarında, bu terimleri daha önce çalıştığımız sınırlar için sadece bir kısaltma olarak kullanıyorlar. Örneğin, 'olarak' yazarsam$x$ sonsuz derecede küçülür, $1/x$sonsuz büyüklükte olur ', o zaman bu oldukça baştan savma olur, ama aynı zamanda matematiğin temellerini iyi bilenler tarafından da anlaşılır. (Yine de böyle bir dil kullanılmaması konusunda uyarırdım.)

İnsanlar sonsuz küçüklerden bahsettiklerinde, sonsuz küçüklük fikrinin resmileştirildiği standart olmayan analizden bahsediyorlar. Ama dikkatimizi dağıtmayalım. Bana göre "sonsuz küçükler" diye bir şey yok. Bu senin de görüşün olmalı. Sonsuz küçükler sezgisel olarak çekici olsa da, sezgilerimizin gerçeklikle uyumlu olduğunu her zaman doğrulamalıyız. Aksi takdirde bela istiyoruz.

Sonunda sorunuza geldik. Doğru anladıysam, soruyorsun$$ \int_a^b f(x) \, dx $$Daha önce doğru bir şekilde belirttiğiniz gibi, integraller bir eğriyi, her biri belirli bir genişliğe sahip birçok küçük dikdörtgene bölmeye dayanır. Bu genişliği diyelim$\Delta x$. Grafiğin altındaki alanı şu şekilde tahmin edebiliriz:$$ \sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Yukarıdaki ifade size yabancı geliyorsa umutsuzluğa kapılmayın. Tek anlamı, her dikdörtgenin sabit bir genişliğe sahip olmasıdır.$\Delta x$. Her dikdörtgenin uzunluğu, her noktadaki eğrinin yüksekliğine bağlıdır - dolayısıyla uzunluk$f(x)$, nerede $x$ gelen bir değişkendir $a$ -e $b$. Ve tabii ki, yaklaşım dikdörtgenlerin alanlarının toplamından gelir. Bunu görselleştirmek için Wikipedia'dan alınan bir animasyon:

Animasyonun haklı olarak önerdiği gibi, yaklaşımlar$\Delta x$ yaklaşımlar $0$. Bu nerede$dx$Adımlar. Dikdörtgenlerin genişliği sonsuz küçükse, dikdörtgenlerin alanı tam olarak doğru aldığını hayal edebilirsiniz . Tarihsel olarak,$dx$ gerçekten de bu şekilde sonsuz küçük bir değişikliği temsil etmek için kullanıldı $x$. Bununla birlikte, modern titizlik standartları bu yorumunu yapmıştır.$dx$büyük ölçüde modası geçmiş. Yaratabilecekleri tüm paradokslar nedeniyle, sonsuz küçüklerden en iyi şekilde biçimsel matematikte, en azından 'standart' matematik bağlamında kaçınılabilir. Yerine,$dx$bir limit ifadesi için bir kısaltmanın parçası olarak görülmelidir. Örneğin, eğer$y=f(x)$, sonra $dy/dx$ için bir kısaltmadır $$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$İntegrallerin Bu durumda, biz olabilir hayal olduğunu$$ \int_a^b f(x) \, dx $$ sonsuz sayıda sonsuz küçük genişlikteki dikdörtgenlerin toplamını temsil eder $dx$. Ama bunu sadece yazmak bile beni utandırıyor. Dikdörtgenin sayısının giderek artması, sonsuz sayıda dikdörtgen olduğu anlamına gelmez (dolayısıyla 'potansiyel sonsuz' ve 'gerçek sonsuz' arasındaki fark). Ve sorunuzda ifade ettiğiniz duygulara bakılırsa, sonsuz küçükler de sizin için doğru yaklaşım olmayabilir. Her dikdörtgenin genişliğini gerçekten 'sonsuz küçük' olarak yorumlarsak, yaratılan bariz paradoks konusunda kesinlikle haklısınız. İntegralin biçimsel tanımı, bu konuyu tamamen tanımlayarak$\int_a^b f(x) \, dx$olarak sınır dikdörtgenler alanları olarak toplamının$\Delta x$ yaklaşımlar $0$: $$ \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Bir model ortaya çıkmış gibi görünüyor. Kendinizi sonsuz küçükler hakkında düşünürken yakaladığınız her sefer, sınırları düşünün! Sezginizi pencereden dışarı atmanıza gerek yok - eğer sonsuz küçükleri matematiksel analiz resminizi oluşturmak için yararlı bulursanız, o zaman onları ortadan kaldırmanız akıllıca olmaz. Aynı şekilde, gerçekte neler olduğunu asla unutmayın .

---

* 'Sonsuzluğa yaklaşıyor' ifadesine dikkat edin. Bunun 'yaklaşmaktan çok farklı bir anlamı var.$5$', söyle. Söylersem$x$ sonsuza yaklaşıyor, o zaman tüm demek istediğim $x$gittikçe büyüyor. Bu kadar.

** Bu özel durumda, iki farklı cevapla sonuçlandığımız için sınır 'mevcut değildir': $+\infty$ ve $-\infty$yaklaşıp yaklaşmamamıza bağlı olarak $0$'yukarıdan' veya 'aşağıdan'. Bu nedenle, kendimizi şu durumlarda düşünmekle sınırlandırmalıyız:$x$ yaklaşımlar $0$ yalnızca olumlu uçtan veya yalnızca olumsuz uçtan.