Kolay bir Matematik Problemi

Question

İşte soru - Elipsin içine yazılmış bir ikizkenar üçgenin maksimum alanını bulun $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Öğretmenim elips üzerindeki iki gelişigüzel noktayı üçgenin köşeleri olarak düşünerek çözdü.$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ ve $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (Sadece söyleyelim$\theta$ teta'dır) ve sonra türev testleri ile devam etti (anladım) Ancak, bizim $\theta$oldu ve bu noktaların daima bir elips üzerinde olduğunu beyan etti. Neden öyle? Ve yapsalar bile, böyle bir formun noktalarının gerekli köşelerimiz olacağının garantisi nedir? Bir şey daha, bu sorunu çözmek için başka bir yol önerebilirseniz çok memnun olurum. Teşekkür ederim!

Answer 1

Simetri argümanına inanırsak, alanı optimize etmek basit bir konudur:

$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$

$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$

$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$

$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$

İlk denklemin çözümleri, minimum $\theta=\pi$ ve maksimumda $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.

İkinci denklemin çözümleri arasında minimum $\theta=-\frac{\pi}{2}$ ve maksimumda $\theta = \frac{\pi}{6}$ ve $\frac{5\pi}{6}.$

İlginç, uyumlu çözümler alıyoruz $x-$eksen ve $y-$eksen!

Elips üzerinde üç rastgele noktayı alarak, onları iskosel üçgenleri üzerinde uzanmaya zorlayarak sorunu kesinlikle çözebilir ve ardından Lagrange çarpanlarını kullanabilirsiniz. Çözümler yukarıda bulunanlar olacaktır.