Maksimal idealler $C^1[0,1]$

Question

Maksimal idealleri nelerdir $C^1[0,1]$?

Maksimum ideallerin $C[0,1]$ formda $\{f:f(x)=0\}$ ve kompaktlığını kullanıyoruz $[0,1]$ bunu kanıtlamak için, ancak maksimum idealleri nasıl buluruz $C^1[0,1]$?

Bu soru Banach Cebirleri kursumuzda sorulmaktadır.

Answer 1

İfade şudur: düzeltme $x\in [0,1]$ ve ayarla $I_x:=\{f\in C([0,1]):f(x)=0\}.$ Sonra $I_x$maksimaldir. Tersine, her maksimal ideal bu biçimdedir. İspat taslağı:

Eğer $I_x\subsetneq J$ o zaman bir $g\in J\setminus I_x$. Sonra,$h=g/g(x)\in J$ ve $h-1\in I_x$. Bunu takip eder$1=h+(1-h)\in J$ yani $J=C([0,1]).$

Tersine, eğer $J$ maksimaldir, ancak reklamı yapılan biçimde değil, bu durumda her $a\in [0, 1]$ bir $f_a \in J$ öyle ki $f(a)\neq 0.$ Bir neigborhoof olduğunu izler $a\in N_a$ öyle ki $x\in N_a\Rightarrow f_a(x)\neq 0.$ Yazmak $[0,1]=\bigcup_{i_1}^MN_{a_i}$ bir tamsayı için $M$ ve koy $g=\sum_{i=1}^Mf^2_{a_i}.$ Sonra, $g>0$ yani $1/g\in J$ ve böylece $1=g/g\in J\Rightarrow J=C([0,1]).$