Normal Suslin ağaçlarında

Question

Jech'in "Set Theory" kitabını tam olarak Suslin ağaçları ile ilgili bölümünde okuyorum. Lemma 9.13'te bir Suslin ağacı varsa normal bir Suslin ağacının da var olduğunu kanıtlıyor.

Eğer $T$ normal bir boy ağacıdır $\alpha$, o zaman özellikle bunu tatmin eder

Herhangi $x\in T$ ve $height(x)<\beta<\alpha$var $y>x$ öyle ki $height(y)=\beta$.

Ama bana garip geliyor, çünkü bu özellik, sonsuz tümevarım yoluyla, aynı yükseklikte bir zincirin varlığını ima ediyor gibi görünüyor. $T$. Ancak bu doğruysa, her Suslin ağacının boyu olduğu için normal Suslin ağacı olmamalıdır.$\omega_1$ve sayılamayan zincirler yok. Burada neyi özlüyorum?

Answer 1

Sınır aşamalarını kaçırıyorsunuz. Elbette, bir dal bir ardıl uzunluğundaysa (yani bir maksimum elemanı varsa), bunu aşama aşama genişletmeye devam edebilirsiniz.$\omega$daha fazla adım, ama bundan sonra devam ettiğini nereden biliyorsun? Daldaki her düğüm için, bir sonraki sınır düzeyinde üzerinde bir düğüm vardır, ancak bu, tüm dalın üzerinde bir düğüm olduğunu söyleyebileceğiniz anlamına gelmez.

Yüksekliği olan bir ağacın daha somut bir örneği için $\omega_1$ ve bu özellik, ancak bir uzunluk dalı yok $\omega_1$sayılabilir sıra sayılardan işlevler ağacını düşünün. $\omega$ bunlar bire bir ve birlikte sonsuz aralığa sahip.