Pi neden yinelenmiyor?
Tamam, Pigeonhole Principle'i (PHP) ve ondalık genişletme ile uygulamasını öğrendim.
Sorumu net bir şekilde iletmek için, ondalık genişletme ile ilgili PHP anlayışımı iletmem gerekiyor, işte burada ...
Uzun bölme süreci ile, sonsuz sayıda kalan elde edebiliriz, çünkü $0$ayrıca bir kalan olarak kabul edilir ( Fig 1ne demek istediğimi anlamak için bakın )$>$Kalanların olası değerlerinin sonlu sayısı (bölüm-kalan teoremi ile,$0≤r<d $)
→ PHP ile , değeri bir önceki kalanın değeriyle aynı olan kesinlikle bir kalan elde ederiz (Şekil 1'de, r 7 = r 1 olduğunda bir isabet alırız )
→ Bir noktada olduğu gibi, kalanların dizisi sonsuz olarak tekrarlanacaktır
→ Bu kalan dizisi sıfır olabilir veya sıfır olmayabilir
→ Bir dizi sıfırsa, ondalık sayıları aşağıdaki gibi sonlandırıyoruz: $2$(de olduğu gibi $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$... $ ) veya 3.625 $ ( 3.625 $ \ color {kırmızı} {\ overline {000}} \ ldots'taki gibi$$...$)
→ Eğer sıfır olmayanlardan oluşan bir diziyse, tekrar eden bir ondalık elde ederiz. $3/14$=$0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$
Sorum: Öyleyse neden PI bu kategorilerden hiçbirine girmiyor? Bir şekilde PHP'yi ihlal ediyor mu?
Ekran görüntüleri için şimdiden özür dileriz.
Şekil 1:
Yanıtlar
Çıkarımınızın ikinci adımı daha iyi gerekçelendirilmelidir. Kurulumunuzda bölen$d$PHP uygulamasının mantıklı olması için tamsayı olmalıdır. Şimdi iki durum var.
Temettü, şu şekilde temsil edilen bir tamsayıdır: $n.00000\ldots$. O zaman PHP'yi ondalık noktadan sonra elde edilen bazı noktalarda tekrarlandığını iddia etmek için kullanabilirsiniz. Yani sahipsin$r_k=r_{k+n}$ için $k,n$ondalık noktadan sonra elde edilir. Sonra daha da tartışmak gerek üzmeye olduğunu$0$ -de $r_{k+n}$ periyodik bir bölünme uzunluğu modeli verir $n$ oradan sonra, cevabınızda sonunda tekrar eden bir ondalık sayı verir.
Temettü bir tam sayı değil, keyfi bir gerçek sayıdır. Bu durumda, PHP yinelenen kalanlar almanızı söyler. Ancak, kalanların listesinin eninde sonunda tekrar edileceğini daha fazla iddia edemezsiniz. Örneğin bölmeyi düşünün$2$ içine $0.10100100010000\ldots$ (burada bende var $1$ bunu takiben $n$ sıfırlar $n=1$ -e $\infty$). Kalan listeniz$0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$tekrarı olmayan. Ancak, yinelenen bir dizi geri kalanı alsanız bile, bu yanıtınızın yinelenen bir ondalık sayı olduğu anlamına gelmez. Örneğin, herhangi bir gerçek sayıyı düşünün$x$, ondalık olarak gösterilir $a_0.a_1a_2a_3\ldots$. Önemsiz uzun bölme yapın$1$ içine $x$. Kalanı alacaksın$0$ her seferinde, ancak bölümdeki ondalık dizinin (sonunda) tekrar etmesi gerekmez.
Şimdi gelince $\pi$, ikinci duruma uyması gerekir , çünkü eğer uzun bölmeye, temettü ve bölen tamsayı olarak başlarsanız, o zaman zaten bir rasyonel sayı hesaplamış olursunuz.
$\pi$aşkın bir sayıdır ve rasyonel değildir. PHP argümanı rasyonel sayılar için geçerli görünüyor.
Hesaplayabileceğinizi varsaydınız $\pi$ bir sayıyı bilinen, sonlu sayıda basamaklı başka bir sayıya, bilinen, sonlu sayıda basamaklı başka bir sayıya bölerek.
Bu, bir sayının rasyonel olmasının ne anlama geldiğinin tam tanımıdır. Ve aslında argümanınız, herhangi bir rasyonel sayının ondalık temsilinin tekrarladığının doğru bir kanıtıdır.
Fakat $\pi$rasyonel değil. Bilinen sonlu basamaklı bir sayının, bilinen, sonlu basamaklı başka bir sayıya bölünmesiyle hesaplanamaz.