Schubert hesabı

Question

İzin Vermek $X = Gr(2,4)$ karmaşık Grassmannian $2$uçaklar $V = \Bbb C^4$ ve $S$ totolojik paket, $Q$bölüm grubu. Kohomoloji halkası şu şekilde oluşturulur:$c_1(S), c_2(S)$ ilişkilerle $c(S)c(Q) = 1$, vektör demetlerinin kısa tam dizisinden gelir $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

Biri almalı $c_1(S)^4 = 1$tamamen bu ilişkilerden dolayı ama bunu yapamıyorum. Birisi nasıl yapılacağını açıklayabilir mi?

Answer 1

Her şeyden önce, $c_1(S)^4 = 2$değil 1. Hesaplamanın kendisi oldukça kolaydır. Göstereyim$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. O zaman ilişkiler$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ İlk verir $b_1 = -a_1$ikinci verir $b_2 = a_1^2 - a_2$ve son iki verir $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Son iki eşitliğin bir kombinasyonu verir $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ dolayısıyla $a_1a_2^2 = 0$. Bu, kohomoloji halkasının yayıldığı anlamına gelir.$\mathbb{Z}$ tarafından $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, ve şu $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ gerekli eşitlik anlamına gelen $c_1(S)^4 = 2$.