Schur lemmanın karşı örneği

Question

GTM kullanarak temel temsil teorisi okuyorum$42$, Schur lemma ile ilgili bir sorunla karşılaşmak:

Schur Lemma . Verilen$G$ bir grup, $V$ üzerinde bir vektör uzayı $\mathbb C$ ve indirgenemez bir temsil $\rho : G \to Gl(V)$. Doğrusal bir harita ise$f : V \rightarrow V$ herkesle gidip gelir $\rho_g, g\in G$, sonra $f=\lambda$ bazı $\lambda\in \mathbb C$.

Bu lemmanın kanıtı şu gerçeğe bağlıdır: $\mathbb C$cebirsel olarak kapalıdır. Şimdi benden bu lemmanın bir karşı örneğini vermem isteniyor$V$ açık $\mathbb Q$ ancak bulamıyorum (alt gruplara aşina değil $Gl(n,\mathbb Q)$). Dahası, cebirsel olarak kapatılmamış herhangi bir alan için bir karşı örnek olup olmadığını merak ediyorum.

Herhangi bir yardım takdir edilecektir.

Answer 1

Schur'un lemması, yeterli özdeğerlerin varlığına dayanır. Bu yüzden al$f$temel alanda özdeğerlere sahip olmamak. Örneğin rasyonel düzlemin dönüşünü düşünün$f = \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}$. Bu$f$ 4 siparişi var, bu yüzden alacağım $G = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ ile $1\mapsto f$.

Şimdi $\mathbb{Q}^2$ indirgenemez bir temsilidir (çünkü herhangi bir uygun değişmez alt uzay tek boyutlu olmalıdır) $G$ ve $f\colon\mathbb{Q}^2\to\mathbb{Q}^2$ dır-dir $G$-doğrusal, ancak skaler çarpım değildir. Bu arada, bu aynı zamanda 1. boyutta olmayan bir değişmeli grubun indirgenemez temsiline bir örnek verir. (Aynısı, karekökü olmayan herhangi bir alan için de geçerlidir.$-1$).