Sonucu $\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$

Question

$$\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$$

Cevabı farklı yaklaşımlarla alabildiğim için bu entegrasyonun belirsiz olduğunu düşünüyorum. Bu cevaplar geçerli ve doğru mu? Biri bana neden ve nasıl söyleyebilir? Ve ayrıca, kullandığım bu iki yöntemin sonuçları aynı değer / cevaba sahip olduğuna dair herhangi bir kanıt var mı?

İşte nasıl çalışıyorum, yanlışsam lütfen düzelt beni

İlk yöntem:

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\sin x \cdot \sin^2x}\,\mathrm{d}x \\ &= \int{\sin x (1 - \cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \displaystyle\int{(\sin x - \sin x\cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C \end{align}

İkinci yöntem:

İlk önce bunu biliyoruz $$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3x$$

Bu nedenle, $$\sin^3x = \dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{4}\sin 3x$$

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\left(\frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x\right)}\,\mathrm{d}x\\ & = \frac{1}{12}\cos 3x - \frac{3}{4}\cos x + C \end{align}

Answer 1

$$\cos 3x =4\cos^3x -3\cos x$$ Yani, $$\frac{1}{12}\color{green}{\cos 3x} - \frac{3}{4}\cos x=\frac{1}{12}(\color{green}{4\cos^3x -3\cos x})-\frac{3}{4}\cos x$$ $$=\frac{1}{3}\cos^3x-\cos x$$

Dolayısıyla her iki cevap da aynı.

Answer 2

Evet, ikisi de geçerli ve doğrudur. Aslında,$$(\forall x\in\Bbb R):\frac13\cos^3(x)-\cos(x)=\frac1{12}\cos(3x)-\frac34\cos(x)$$dan beri$$(\forall x\in\Bbb R):\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x).$$

Answer 3

Dan beri $$\cos^3(x)=\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)$$

İlk integralin şöyle olur $$\int \sin^3(x)dx=\dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C$$ $$=\frac{1}{3}\big[\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)\big]-\cos(x)+C$$ $$=\frac{1}{12}\cos(3x)-\frac{3}{4}\cos(x)+C$$

---

Entegrasyon sabitinin mutlaka aynı olmadığını unutmayın. Örneğin kullanmak$u$- Elimizdeki payda için ikameler $$\int \frac{4x}{4x^2+7}dx=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}$$

$$\int \frac{x}{x^2+\frac{7}{4}}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}$$

Burada biz var $C_{2}=C_{1}+\frac{1}{2}\ln(4)$sabit oldukları için. Gerçekten bizde$$\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+\frac{1}{2}\ln(4)+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\big[\ln(x^2+\frac{7}{4})+\ln(4)\big]+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4(x^2+\frac{7}{4}))+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}.$$