Titreşim $n$delikli simit

Question

İzin Vermek $X$ ol $n$delikli torus, bir $2$boyutlu manifold.

İçin $n = 0$bir uyuşmazlık var $S^3 \rightarrow X \cong S^2$ liflerle $S^1$.

İçin $n = 1$bir uyuşmazlık var $\mathbb{R}^2 \rightarrow X \cong \mathbb{T}^2$ için $2$boyutlu simit. Lifleri ayrıktır (boyut$0$) ve ile yazışmalarda $\mathbb{Z}^2$.

Diğeri için $n > 1$, Manifoldlar arıyorum $M_n$ ile $\pi_0(M) = 0, \pi_1(M) = 0, \pi_2(M) = 0$ve bir uydurma $M \rightarrow X$, kimin lifleri $1$boyutlu manifoldlar (her ikisine de homeomorfik $\mathbb{R}$ veya $S^1$ veya bunların ayrık birlikleri).

Eğer hiç yoksa, bu tür fibrilasyonlara sahip daha yüksek boyutlu manifoldlar var mı?

Answer 1

Daha standart gösterimi kullanmama izin verin $\Sigma_g$ cinsin kapalı yönlendirilebilir yüzeyi için $g$. Uygulanması , uzun tam sırası bir Faybreyşın için Homotopi içinde$F \to M \to \Sigma_g$ ile $M$ koşullarınızı tatmin etmek önce bir eşbiçimlilik verir

$$\pi_1(\Sigma_g) \cong \pi_0(F)$$

ve ikincisi bir izomorfizm

$$\pi_2(\Sigma_g) \cong \pi_1(F).$$

Evrensel kapağından beri $\Sigma_g$ hiperbolik düzlem $\mathbb{H}$ bu nedenle) daraltılabilir $\pi_2(\Sigma_g)$kaybolur. Şu sonuca varıyoruz: eğer$F$ bir $1$-manifold daha sonra ayrık bir birleşim olmalıdır $|\pi_1(\Sigma_g)|$ Kopyaları $\mathbb{R}$. Bunu alarak böyle bir fibrasyon alabiliriz$M = \mathbb{H} \times \mathbb{R}$ harita nerede $M \to \Sigma_g$ projeksiyonun birleşimidir $\mathbb{H} \times \mathbb{R} \to \mathbb{H}$ evrensel kaplama haritası ile $\mathbb{H} \to \Sigma_g$.

Bu biraz "sıkıcı", çünkü biz sadece $\mathbb{R}$itibari ile. Muhtemelen daha doğal bir yapı aşağıdaki gibidir. Donatırsak$\Sigma_g$sabit eğriliğin hiperbolik bir metriğiyle, birim teğet demetini düşünebiliriz $UT(\Sigma_g)$, doğal olarak önemsiz bir fibrasyonda oturan bir alan

$$S^1 \to UT(\Sigma_g) \to \Sigma_g.$$

(Küreye uygulandığında bu yapı Hopf fibrasyonunu üretir.) $UT(\Sigma_g)$ doğal olarak birim teğet demetinin bölümüdür $UT(\mathbb{H}) \cong PSL_2(\mathbb{R})$ hiperbolik düzlemin eylemi ile $\pi_1(\Sigma_g)$hiperbolik izometrilerle hareket eden ve daha sonra bu boşluğun büzüşebilir olan evrensel örtüsünü almak daha da düşünülebilir. Tamamen bu bir yalan vermeli

$$F \to \widetilde{PSL}_2(\mathbb{R}) \to \Sigma_g$$

bir şekilde daha "doğal" olan istenen özelliklerle, aslında bir öncekine bir fibrasyon olarak homotopi eşdeğeri olabilir, bilmiyorum.