Üstel üstel integralinin hesaplanması

Question

Aşağıdaki ifadeyi bütünleştirmeye çalışıyorum: $$\int_{0}^{\infty} (1- \exp(-a e^{-bx})) dx$$Bu integrali önce ikame yöntemini kullanarak çözmeye başladım. İle$t = e^{-bx}$, o zaman integral: $$\frac{1}{b} \int_{0}^{1} \frac{1}{t}(1-e^{-at})dt$$Aklıma gelen tek şey, bunu parçalı entegrasyon kullanarak çözmek ama sonuçta entegrasyonu çok karmaşık hale getiriyor. Örneğin, izin ver$u = \frac{1}{t}$ ve $dv = 1 - e^{-at}$. Bu integrali çözmenin daha kolay bir yolu var mı?

Answer 1

İntegral ile başlıyoruz $I$ veren

$$I=\int_0^1 \frac{1-e^{-at}}{t}\,dt\tag1$$

---

Değişikliği zorunlu kılmak $t\mapsto t/a$ içinde $(1)$ ortaya çıkarır

$$I=\int_0^a \frac{1-e^{-t}}{t}\,dt \tag2$$

---

İntegral parçalarına göre entegrasyon $(2)$ ile $u=1-e^{-t}$ ve $v=\log(t)$, onu bulduk

$$\begin{align} I&=(1-e^{-a})\log(a)-\int_0^a \log(t)e^{-t}\,dt\\\\ &=(1-e^{-a})\log(a)+\gamma+\int_a^\infty \log(t)e^{-t}\,dt\tag3 \end{align}$$

nerede $\gamma =-\int_0^\infty \log(t) e^{-t}\,dt$ Euler-Mascheroni sabiti.

---

Parçalar tarafından müteakip bir entegrasyon $(3)$ ile $u=\log(t)$ ve $v=-e^{-t}$ verim

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I=\log(a)+\gamma+\Gamma(0,a)}\tag 4$$

nerede $\Gamma(0,a)=\int_a^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt$ Üst Eksik Gama işlevidir.

---

Alternatif olarak ifade edebileceğimizi unutmayın $(4)$ gibi

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I=\log(a)+\gamma-\text{Ei}(-a)}$$

Üstel integral açısından $\text{Ei}(-a)=-\int_a^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt$.

Answer 2

Ayrılmaz $\dfrac {e^{a x} } x$ kolayca çalışmıyor.

ProofWiki'de şu şekilde yapılır:

https://proofwiki.org/wiki/Primitive_of_Exponential_of_a_x_over_x

$$\int \frac {e^{a x} \, \mathrm d x} x = \ln |x| + \sum_{k \mathop \ge 1} \frac {(a x)^k} {k \times k!} + C$$

Bu, ikame edilmiş integralinizin cevabını gerçekten almanıza izin verecek ve cevabı oradan almak kolay olmalıdır. Sadece pek hoş olmadığını.