Algorithmus zum Testen einer Sequenz auf Konvergenz

Question

Ich habe dieses Prüfungsproblem, das Folgendes besagt:

Eine Folge von reellen Zahlen ${\{x_n\}_{n=1}^\infty}$ ist gegeben mit $x_1=1$, $x_{n+1}=\sqrt{20+x_n}$, $n \geq 1$. Testen Sie die Konvergenz dieser Sequenz und bewerten Sie ihre Grenze, wenn sie konvergent ist.

Also nach Auswertung einiger Werte von $x_n$Ich erkannte, dass die Sequenz zunimmt und dass sie von oben mit begrenzt ist $5$. Was bedeutet, dass die Sequenz konvergiert (nach dem monotonen Konvergenzsatz)?

Meine Frage ist, was wäre der algorithmische Weg, um dies zu lösen und es richtig zu beweisen? Wie soll das Limit in diesem Fall später bewertet werden?

Würden wir für eine solche angegebene Sequenz auch sagen, dass sie rekursiv angegeben wird?

Answer 1

An der Stelle weitermachen, an der Sie im Kommentar aufgehört haben: Angenommen, x_n (oben definiert) nimmt monoton zu.

Die Großbuchstaben sind leicht zu zeigen! $$x_1=1<21$$ Annehmen $x_k < 21$ für einige $k \in \mathbb{N}$. Dann$x_{k+1} = \sqrt{20 + x_{k}} \leq \sqrt{41} \lt 21$, daher haben wir gezeigt $x_n \lt 21$ für alle $n \in \mathbb{N}.$

Durch den monotonen Konvergenzsatz gibt es eine Grenze. Finden Sie es jetzt:

Erinnere dich daran $\lim s_{n+1} = \lim s_{n}$.

Dann $\lim x_{n+1} = \lim x_n$ befriedigt $ x = \sqrt{20 + x}$ für ein großartiges Ergebnis von $x=5$. ($x$ Hier ist die Grenze der $x_n$ Reihenfolge)

Insgesamt besteht der Prozess hier darin, die monotone Zunahme der Sequenz zu zeigen, die Induktion zu verwenden, um eine Obergrenze mit einer konstanten Substitution zu zeigen, und dann einen rekursiven Algebra-Trick zu verwenden, um die tatsächliche Form der Grenze zu verstehen.

Ich hoffe, dies unterstützt Ihre Prüfungsvorbereitung.