An singulären Wert gebunden

Question

Lassen$M \in \mathbb{R}^{d\times d}$sei eine antisymmetrische Matrix. Gibt es eine untere/obere Grenze oder Gleichheit zwischen den beiden Größen?$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$Die rechte Seite ist das Quadrat des kleinsten Singularwertes von$A$. Beachte das auch$u^* A u$muss dabei rein imaginär sein$u^* A^T A u$muss echt sein.

Tatsächlich zeigt der Kommentar unten von Stephen, dass die linke Seite Null ist. Was ist mit allgemeinen Matrizen?$A$, nicht unbedingt antisymmetrisch?

Answer 1

Danke Stephen für den Hinweis auf die Cauchy-Scharz-Ungleichung: wir haben$$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$für normalen Vektor$u$und reelle Matrix$A$, somit$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$für jede reelle Matrix$A$. Die linke Seite ist Null für antisymmetrisch$A$.