Begrenzter Operator auf Pre-Hilbert-Räumen

Question

Es gibt einen Satz über "Linearoperatoren in Hilbert-Räumen" von Joachim Weidmann

Lassen $H_1$ und $H_2$normierte Räume sein. Lassen$T$ ein Betreiber von sein $H_1$ in $H_2$.
Wenn$H_2$ ist ein Pre-Hilbert-Raum und $M$ ist ein Unterraum von $H_2$ so dass $R(T)\subset \overline{M}$, dann $T$ ist begrenzt, wenn nur wenn $$sup\{|\langle T(f),g\rangle| : f \in D(T), g \in M, \|f\|=\|g\|=1\}<\infty$$ Diese Zahl ist dann gleich $\|T\|$.

Für die richtige Richtung; $(\Rightarrow)$des Beweises wurde im Buch bewiesen. Jetzt versuche ich, durch die linke Richtung zu beweisen, das heißt

Wenn $\|T\|=sup\{|\langle T(f),g\rangle| : f \in D(T), g \in M, \|f\|=\|g\|=1\}<\infty$ dann $T$ ist begrenzt.

Ich habe einige Schritte wie diesen versucht:
Lassen Sie$\|T\|=sup\{|\langle T(f),g\rangle| : f \in D(T), g \in M, \|f\|=\|g\|=1\}<\infty$, dann die Obergrenze von $\{|\langle T(f),g\rangle| : f \in D(T), g \in M, \|f\|=\|g\|=1\}$ existiert, dh für alle $f\in D(T)$ und $g\in M$gibt es $M>0$ damit $$|\langle T(f),g\rangle|\leq M$$

dann stecke ich auf diesem Schritt fest. Ich denke, ich kann die Cauchy-Schwarz-Ungleichung nicht verwenden, weil ich nicht weiß, ob$\|T(f)\| \|g\| \leq M$oder nicht. Kann mir jemand eine Idee geben, dies zu beweisen? Jede Hilfe wird geschätzt.

Answer 1

Lassen $C$Sei das Supremum, das du definiert hast. Lassen$f \in D(T)$ und $\|f\|=1$. Dann$Tf \in \overline {M}$ so existiert es $(g_n) \subset M$ so dass $\|Tf-g_n\| \to 0$. Jetzt$\|Tf\|^{2} = \langle Tf, Tf \rangle =\lim \langle Tf, g_n \rangle \leq \lim \|g_n\|\|Tf\|$. Teilen durch$\|Tf\|$ wir bekommen $\|Tf\| \leq C $ wann immer $\|f\|=1$.

[Ich habe die Tatsache genutzt, dass $ \langle Tf, h \rangle \leq C \|h\|$ wenn $f \in D(T), h \in M$ und $\|f\|=\|h\|=1$. Dies folgt schriftlich$ \langle Tf, h \rangle$ wie $\|h\| \langle Tf, h/\|h\| \rangle$ und unter Verwendung der Definition von $C$].