Beweis der Transzendenz bestimmter Arcsin-Werte

Question

Mir sind einige Transzendenzbeweise für bestimmte Sonderzahlen wie bekannt $\pi$ und $e$und ich bin mir bewusst, dass es ziemlich schwierig und kompliziert sein kann, bestimmte Transzendenzbeweise zu finden. Ich weiß auch, dass wir bei den meisten Zahlen nicht sicher sind, ob sie transzendent sind oder nicht.

Ich habe Wolfram Alpha jedoch nur für eine nicht verwandte Frage, arcsin, hinzugefügt$(\frac{1}{2\sqrt{2}})$und Wolfram Alpha sagte mir, es sei transzendent. Welche Arten von Zahlen wissen wir, sind transzendent, wie konnte Wolfram Alpha dies mit einer willkürlichen Eingabe für Arcsin (mit Ausnahme von offensichtlichen wie Null) so schnell erfassen und wie könnten wir eine Aussage wie "Arcsin" beweisen?$(x)$ ist für alle Eingaben transzendent $x \neq 0, \frac{\pi}{2}$"? (Vielleicht fehlen mir einige Ausnahmen, aber Sie haben die Idee.)

Prost.

Answer 1

Dies alles folgt aus dem Lindemann-Weierstrass-Theorem : if$x$ ist dann eine algebraische reelle oder komplexe Zahl ungleich Null $e^x$ ist transzendent.

Der Arkussinus kann logarithmisch als geschrieben werden $$\sin^{-1}z=-i\ln(\sqrt{1-z^2}+iz)$$ Nehmen wir nun an $\sin^{-1}\frac1{2\sqrt2}$ist algebraisch. Dann ist es so$i\sin^{-1}\frac1{2\sqrt2}=\ln\left(\sqrt{\frac78}+\frac1{2\sqrt2}i\right)$und nach dem obigen Satz $e^{i\sin^{-1}1/(2\sqrt2)}=\sqrt{\frac78}+\frac1{2\sqrt2}i$ist transzendent. Aber klar$\sqrt{\frac78}+\frac1{2\sqrt2}i$ist algebraisch. Damit$\sin^{-1}\frac1{2\sqrt2}$ ist transzendent.