Borelmaß am Set
Lassen $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ rechtskontinuierlich sein ($f(x) = \lim\limits_{h\to 0^+} f(x+h) \,\forall x \in \mathbb{R}^n$) und $n$-erhöhend (dh $\Delta_{(a,b]} F \geq 0\,\forall a \leq b$ (Hier $\leq $ wird komponentenweise verstanden), wobei das Volumen eines multivariaten Intervalls unter $f$ ist $\Delta_{(a,b]}F := \sum_{i\in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_{j=1}^n i_j} F(a_1^{i_1}b_1^{1-i_1},\cdots, a_n^{i_n}b_n^{1-i_n}).$ Zeigen Sie, dass es ein einzigartiges Borel-Maß gibt $\mu_F$ so dass $\mu_F((a,b]) = \Delta_{(a,b]} F, a\leq b.$
Ich denke, ich sollte den Erweiterungssatz von Caratheodory verwenden. Ich denke darüber nach, den Ring zu benutzen$R := \{(a,b] \in \mathbb{R}^n : a\leq b\} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),$ wo $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ bezeichnet das Boreale $\sigma$-Algebra auf $\mathbb{R}^n.$ Ich muss eine Vormaßnahme definieren $\mu_0$ auf $R,$ sagen $\mu_0(\cup_{i=1}^\infty (a_i, b_i]) = \sum_{i=1}^\infty \Delta_{(a_i,b_i]} F.$ Wenn ich dann überprüfen kann, ob dies eine Vormaßnahme ist, hätte man das eindeutig $\mu_F(A) = \mu_0(A)$ für jede Nicht-Null-Menge von $R,$ so durch Caratheodorys Erweiterungssatz, $\mu_F$ ist einzigartig.
Ist das falsch
Antworten
Wie Sie in Ihrem Beitrag erwähnt haben, kann dies durch Anwendung des Caratheorody-Erweiterungssatzes erreicht werden, obwohl es möglicherweise bequemer ist, Semirings zu berücksichtigen (siehe Kallenbergs Grundlagen der Wahrscheinlichkeit).
Betrachten Sie Maßnahmen auf dem Borel-Raum $(\mathbb{R}^d,\mathscr{B}(\mathbb{R}^d))$. Zum${\bf x},\,{\bf y}\in\,\mathbb{R}^d$verwenden wir die Notation ${\bf x}\leq {\bf y}$, und ${\bf x}<{\bf y}$ um das anzuzeigen $x_k\leq y_k$ und $x_k<y_k$ jeweils und lassen Sie uns auch bezeichnen ${\bf e}=(1,\ldots,1)^\top$. Betrachten Sie abschließend die Sammlung$\mathscr{E}$ von allen $d$- dimensionale Intervalle $\prod^d_{k=1}(a_k,b_k]=({\bf a},{\bf b}]$ mit $a_k\leq b_k$, was eindeutig ein Semiring ist.
Für jede Funktion $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ definiere das $j$-Inkrementierungsoperator $$\Delta_j(a,b)F({\bf s})= F(s_1,\ldots,s_{j-1},b,s_{j+1},\ldots,s_d)-F(s_1,\ldots,s_{j-1},a, s_{j+1},\ldots,s_d)$$ und die offensichtliche Konvention für $j=1$ und $j=d$. Deutlich$\Delta_j(a, b)$ ist linear.
Für Paare $\{(a_j,b_j):j=1,\ldots,n\}$ mit $a_j<b_j$, Wir gebrauchen $\prod^n_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$ die Zusammensetzung $\Delta_n(a_n,b_n)\circ\prod^{n-1}_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$, wo $\prod^1_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)=\Delta_1(a_1,b_1)$.
Lassen $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ richtig sein - kontinuierlich, dh $\lim_{{\bf x}\searrow{\bf a}}F({\bf x})=F({\bf a})$. Zum$a\leq b$ und $1<j<d$ bezeichnen mit
Satz: Nehmen wir das an$F$ist richtig - kontinuierlich und hat nichtnegative Inkremente, dh$\mu(({\bf a},{\bf b}]):=\prod^d_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)F\geq0$ für jeden $d$--dimensionales Intervall $({\bf a},{\bf b}]$. Dann$\mu$ gibt eine Erweiterung einer Maßnahme auf a $\sigma$--Algebra $\mathcal{M}_\mu\supset\mathscr{B}(\mathbb{R}^d)$.
Skizze des Beweises:
Deutlich $\mu(\emptyset)=0$ und $\mu$ ist endlich additiv auf $\mathscr{E}$. Das beweisen wir jetzt$\mu$ ist zählbar subadditiv auf $\mathscr{E}$. Wenn$({\bf a},{\bf b}]=\bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]$, das Recht - Kontinuität und Positivität der Inkremente von $F$ implizieren das für jeden $\varepsilon>0$, es gibt ${\bf a}_\varepsilon$ und ${\bf b}_\varepsilon(j)$ so dass $$ \mu(({\bf a},{\bf b}])< \mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}])+\tfrac{\varepsilon}{2}; \quad \mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)])< \mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\tfrac{\varepsilon}{2^{m+1}} $$ Da die Schließbox $[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]$ ist kompakt und $$\begin{align}\label{compactbox} [{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}] \subset ({\bf a},{\bf b}]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))\tag{1}label{compactbox} \end{align} $$ es gibt $N_0\in\mathbb{N}$ so dass $({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset \bigcup^{N_0}_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))$. Endliche Additivität impliziert endliche Subadditivität des Semirings$\mathscr{E}$, so $$\begin{align} \mu(({\bf a},{\bf b}])&<\mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]) +\tfrac{\varepsilon}{2} \leq \sum^{N_0}_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)]) + \tfrac{\varepsilon}{2}\\ &\leq \sum^\infty_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\varepsilon \end{align} $$ Zählbar Subadditivität von $\mu$ auf $\mathscr{E}$ folgt durch Vermieten $\varepsilon\searrow0$. Die Schlussfolgerung folgt aus Carath'eodorys Erweiterungssatz.