C * Algebra Isomorphismus

Question

Ich habe zwei unital $C^*$ Algebren $A$ und $B$. Lassen$X\subset A$ und $Y\subset B$ sei so, dass Spannweite $X$ und span $Y$ sind dichte * Subalgebren von $A$ und $B$beziehungsweise. Ich habe eine Karte$\Psi: Span ~X \to Span ~Y$Das ist ein * -Homomorphismus. Ich habe auch eine Karte$\Phi: Span ~Y \to Span ~X $ so dass $\Phi\circ \Psi=id$. Kann ich daraus schließen?$\Psi$ erstreckt sich auf einen Isomorphismus zwischen $A$ und $B$?

Answer 1

Nein, weil $\Psi$kann keine Kontraktion sein. Lassen$A=B=C[0,2]$, und $X=\mathbb C[x]$, $Y=\mathbb C[x^3]$. Beide sind dicht von Stone-Weierstrass. Lassen$\Psi:X\to Y$ gegeben sein durch $(\Psi f)(x)=f(x^3)$. Dann$\Psi$ ist ein Invertierbarer $*$-isomorphismus. Und mit$f(x)=x^n$, $$\frac{\|\Psi f\|}{\|f\|}=\frac{2^{3n}}{2^n}=4^n.$$ So $\Psi$ ist unbegrenzt.