Charakterisierung von automorphen diskreten Spektren

Question

Ich habe kürzlich aus dem Buch "Spektralzerlegung und Eisenstein-Reihen" von Moeglin und Waldspurger etwas über die automorphe Spektralzerlegung gelernt. (Lass mich es MW nennen)

Ich habe eine Frage zur Charakterisierung diskreter Spektren.

Lassen Sie mich die grundlegende Notation wie in MW erklären.

Lassen$G$sei eine zusammenhängende reduktive Gruppe über einem algebraischen Feld$k$und$\xi$sei ein einheitliches Zeichen von$Z_G(A)$.

Lassen$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$sein$L^2$-Funktionen an$G(k)\setminus G(A)$mit zentralem Charakter$\xi$.

Dann,$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$zerlegt sich in den Raum, der durch iterierte Reste der Eisenstein-Reihen und ihr Komplement erzeugt wird, das durch direkte Integrale der Eisenstein-Reihen beschrieben wird. (MW, IV 2.1)

Lassen Sie mich das erste Leerzeichen nennen$L^2_d$.

(Ich denke, dass$L^2_d$ist die Schließung der Spanne von$L^2$automorphe Formen in$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$.)

Lassen Sie mich den halbeinfachen Teil, dh die Hilbertsche direkte Summe von topologisch irreduziblen Teildarstellungen nennen$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$, unter einem Namen$L^2_{ss}$.

Definition von diskretem Spektrum und kontinuierlichen und grundlegenden Eigenschaften

Im obigen Artikel wird es als diskretes Spektrum bezeichnet.

Meine Fragen sind

1. Gibt$L^2_d$und$L^2_{ss}$das Gleiche?
2. Wenn ja, wie kann man das beweisen? Können wir es mittels elementarer Funktionsanalyse (zB der Kenntnis des Buches „Funktionsanalyse“ von Walter Rudin) wie dem Beweis des Satzes von Gelfand-Graev-Patetski-Shapiro also wie im Eckfall beweisen?

Ich denke, das ist offensichtlich$L^2_d$enthält$L^2_{ss}$, aber ich frage mich, ob das Gegenteil wahr ist. Ich würde mich über Hinweise zur Lösung dieser Frage freuen. Vielen Dank!

Bearbeitet: Ich habe eine weitere Frage und Definition von hinzugefügt$L^2_{ss}$im Einklang mit den Kommentaren. Danke für die Kommentare!

Answer 1

Es ist wahr durch Zulässigkeit von$L^2_{d}$.

Anspruch 1. $L^2_{d}$ist zulässig.

Beweisskizze
Wenn der K-Typ festgelegt ist, gibt es endliche Möglichkeiten von infinitesimalen Zeichen automorpher Formen mit dem K-Typ und in$L^2_{d}$,nach dem Harish-Chandra-Zulässigkeitssatz für Spitzendarstellungen und Konstruktionen von Residuen von Eisenstein-Reihen. (vgl. MW V3.3, V3.13, Corvallis 4.3)
Also, wiederum nach dem Harish-Chandra-Zulässigkeitssatz, der Raum$L^2_{d}$ist zulässig.

Anspruch 2 Zulässige unitäre Darstellungen von G($\mathbb{A}$) sind halbeinfach.

Beweisskizze
Es genügt zu zeigen, dass jede zulässige unitäre Darstellung ungleich Null eine irreduzible Teildarstellung hat. (Dann folgt aus dem Lemma von Zorn.)
Let$\pi$sei eine von Null verschiedene zulässige einheitliche Darstellung. Dann gibt es eine endliche Menge von K-Typen$\mathcal{F}$so dass$\mathcal{F}$-typischer Teil von$\pi$, sagen$\pi_\mathcal{F}$ist ungleich Null.
Lassen$e_\mathcal{F}$sei der entsprechende Idempotent in der Hecke-Algebra von G,$\mathcal{H}(G)$, und lass$\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$sein$e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$(vgl. Corvallis p183, Artikel von Flath und Kapitel I von Knapp-Vogan.)
Dann$\pi_\mathcal{F}$hat irreduzible Unterrepräsentation,$\rho_\mathcal{F}$von$\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$und es erzeugt G($\mathbb{A}$)-Unterraum$\rho$.
Das behaupten wir$\rho$ist irreduzibel.
Andernfalls,$\rho$zerlegt die direkte Summe zweier echter abgeschlossener Unterräume$\rho_{1}$und$\rho_{2}$.
Weiter projizieren$\rho_\mathcal{F}$, einer von$(\rho_i) _\mathcal{F}$ist ungleich Null. Durch Irreduzibilität von$\rho_\mathcal{F}$, einer von$(\rho_i)$gleich$\rho$und Widerspruch. (Um diesen Beweis zu vervollständigen, müssen wir eine Funktionsanalyse anwenden, siehe zum Beispiel 1.6.6 der reduktiven Gruppen von Wallach.)