Dimension und Explosionen

Question

Betrachten Sie eine projektive Vielfalt $X$, und lass $Y$eine geschlossene Subvarietät sein. Betrachten Sie die Explosion von$X$ entlang Y: Wir erhalten eine neue Sorte $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$zusammen mit einer Geburtskarte $$b:\tilde{X}\to X$$ Das ist ein Isomorphismus außerhalb des außergewöhnlichen Ortes $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.

Frage: Stimmt das? $\dim\tilde{X}=\dim X$?

Meine Idee: Die Explosion ist eine Birationskarte, daher ein Isomorphismus auf einer offenen (dichten) Teilmenge; Da die Dimension einer Sorte als der Trascendenzgrad des Funktionsfeldes definiert ist, der bei offener Menge gleich ist, können wir schließen.

Ist meine Idee richtig? Ich frage dies, weil ich zwar davon überzeugt bin, einen Punkt in die Luft zu jagen, aber für den allgemeinen Fall einer Subvariety bin ich mir nicht sicher, weil es intuitiv so aussieht, als würde ich einiges hinzufügen großer Raum (ich weiß, es ist nicht streng, aber ich habe gerade angefangen, dieses Thema zu studieren).

Answer 1

Es gibt ein paar Dinge zu beachten. Eines ist, dass ich denke, dass Sie wollen, dass die Explosionskonstruktion darin lebt$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$;; Zumindest funktioniert dies, wenn$Y$ ist eine vollständige Kreuzung.

Im Allgemeinen entsteht der außergewöhnliche Ort jedoch, wie Sie sagten, als Projektivierung des normalen Bündels $\mathcal N_{Y|X}$. einstellen$\dim X = n$ und $\dim Y = m$. Der Rang des normalen Bündels ist immer die Codimension von$Y\subset X$daher $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ hat relative Dimension $n - m - 1$ (was bedeutet, dass dies die Dimension der Fasern von ist $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, die Strukturkarte des projektiven Bündels). Fügen Sie nun dazu die Dimension von hinzu$Y$erhalten wir die Dimension des projektiven Bündels als eine Sorte, nämlich $(n-m-1) + m = n-1$, was zeigt, dass es Codimension hat $1$ im $X$. Aus diesem Grund wird der außergewöhnliche Ort einer Explosion typischerweise als außergewöhnlicher Teiler bezeichnet .