Eigenwerte und Singularwerte der negativen definitiven Matrix

Question

Wenn $A$ ist positiv definitiv ($A^T=A$ und $\lambda_i(A)>0$) dann die Singularwerte $\sigma_i(A)$ fallen mit den Eigenwerten zusammen $\lambda_i(A)$. Diese Tatsache wurde in einer anderen Antwort bewiesen und machte mich neugierig, ob wann dasselbe (oder etwas Ähnliches) passiert$A$ ist negativ definitiv $(A^T=A$ und $\lambda_i(A)<0$).

Answer 1

Singularwerte sind immer nicht negativ, aber die Eigenwerte einer negativen bestimmten Matrix sind immer negativ. Daher können die Singularwerte in diesem Fall möglicherweise nicht gleich den Eigenwerten sein.

Im Allgemeinen jedoch, wenn $A$ ist normal (dies schließt den Fall ein, in dem $A$ ist negativ definitiv), seine Singularwerte sind genau die Module seiner Eigenwerte, dh $\sigma_k(A)=|\lambda_(A)|$. Lassen$\lambda_1(A),\ldots,\lambda_n(A)$ seien die Eigenwerte von $A$ und lass $\lambda_k(A)=|\lambda_k(A)|e^{i\theta_k}$ für jeden $k$. Schon seit$A$ ist normal, es kann einheitlich diagonalisiert werden als $A=U\Lambda U^\ast$. Deshalb$A=(UD)|\Lambda|U^\ast$ ist eine Singularwertzerlegung von $A$, wo $|\Lambda|=\operatorname{diag}(|\lambda_1(A)|,\ldots,|\lambda_n(A)|)$ und $D=\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n})$. Daraus folgt, dass die Singularwerte von$A$ sind $|\lambda_1(A)|,\ldots,|\lambda_n(A)|$.

Answer 2

Wenn $A$ ist also negativ bestimmt $B=-A$ ist definitiv positiv und $BB^T = AA^T$. Die singulären Werte von$B$ sind daher gleich dem von $A$ und auch zu den Eigenwerten von $A$ entsprechend dem von Ihnen erwähnten Ergebnis.

Während die Eigenwerte von $B$ sind das Gegenteil von dem von $A$.

Schließlich sind die Singularwerte von $A$sind das Gegenteil seiner Eigenwerte. Das sagt nur das$\sqrt{\vert \lambda \vert} = \sqrt{- \lambda}$ zum $\lambda \le 0$.

Answer 3

Per Definition $\sigma_i(A)=\sqrt{\lambda_i(A^TA)}$. Wenn$A=A^T$ dann $\sigma_i(A)=\sqrt{\lambda_i(A^2)}$. Durch Eigenzersetzung$A=U\Sigma U^T$ wir sehen das $A^2=U\Sigma^2 U^T$ damit $\lambda_i(A^2)=\lambda_i(A)^2$. Wir schließen daraus$\sigma_i(A)=\sqrt{\lambda_i(A)^2}=|\lambda_i(A)|$. Dies gilt für symmetrische Matrizen im Allgemeinen, wir müssen nicht annehmen$A$ ist positiv oder negativ definitiv.