Endlichkeit von $\pi_n(Top/O)$

Question

Zum $n>4$ man kann sich identifizieren $\pi_n(Top/O)$ über die Glättungstheorie als Konkordanzklasse glatter Strukturen auf $S^n$wobei zwei Strukturen übereinstimmen, wenn sie eine glatte Struktur mit einem Intervall an das Produkt binden. Ich habe gesehen, dass behauptet wurde, diese Homotopiegruppen seien endlich, zum Beispiel wenn es behauptet wird$BO \rightarrow BTop$ ist eine rationale Äquivalenz.

Man möchte die Arbeit von Kervaire und Milnor verwenden, die die Endlichkeit orientierter Homotopiekugeln zeigt, aber ich sehe nicht ein, wie man von einer Aussage über den Typ des Diffeomorphismus zu einer Aussage über die Konkordanzklasse übergeht. Stimmt es, dass eine Kugelkonkordante diffeomorph ist? Diese Konkordanz impliziert, dass Diffeomorphismus durch den Satz des h-Cobordismus wahr ist, aber ich glaube, dass für einige Mannigfaltigkeiten zumindest der andere Weg nicht gilt.

Answer 1

Hier wiederhole ich im Wesentlichen nur das, was Siebenmann in Essay V des Kirby-Siebenmann-Bandes geschrieben hat, während ich einige Definitionen aus frühen Abschnitten abrufe:

Lassen $n \geq 5$. Durch Arbeiten von Kirby und Siebenmann zur Konnektivität von$Top(n)/O(n) \rightarrow Top/O$, $\pi_n(Top/O)=\pi_n(Top(n)/O(n))$. Letzteres ist das, womit wir arbeiten werden. In Abschnitt 5.3 den Raum$\Omega^n Top(n)/O(n)$ wurde mit dem Raum der Glättungen von identifiziert $S^n$relativ zu einer Scheibe mit glatter Standardstruktur. Daher,$\pi_n(Top(n)/O(n))$ ist die Konkordanzklasse solcher glatten Strukturen.

Wir können die Einbeziehung solcher Glättungen in die Homotopie-Glättungen von in Betracht ziehen $S^n$relativ zu einer Scheibe (vielleicht bis zum h-Cobordismus?). Die Surjektivität ergibt sich aus der Poincare-Vermutung und die Injektivität aus dem, was Siebenmann "Alexander-Isotopie" nennt. Ich bin mir nicht sicher, was das ist.

Dann dieser Satz von Homotopie-Glättungen von $S^n$ relativ zu einer Scheibe hat eine Karte zu der Gruppe von orientierten Homotopiekugeln, die gegeben ist, indem die Homotopieäquivalenz verwendet wird, um die Orientierung von zu transportieren $S^n$auf die Homotopiekugel und dann die Homotopieäquivalenz vergessen. Diese Karte ist surjektiv, da jede Homotopiekugel eine Standardscheibe enthält. Die Hauptsache für die Darstellung der Injektivität ist, dass es bis zur Orientierung eine einzige Isotopieklasse eingebetteter Scheiben in unserer Homotopiesphäre gibt.

Diese Kette von Bijektionen zeigt das $\pi_n(Top/O)$ zum $n\geq 5$ ist $\Theta_n$, die Gruppe der orientierten Homotopiekugeln. Ich denke, jede Subtilität in diesem Beweis würde sich daraus ergeben, dass das Einbeziehen von Glättungen in Homotopie-Glättungen injektiv ist, daher werde ich mich weiter mit "Alexander-Isotopie" befassen.