Endomorphismen der Cuntz-Algebra

Question

Betrachten Sie die Cuntz-Algebra $\mathcal{O}_n$ mit $n \geq 2$ und lass $\text{End}(\mathcal{O}_n)$ sei die Menge aller (unital) $\ast$-endomorphismen von $\mathcal{O}_n$. Ich habe mich gefragt, ob es ein Element gibt$x \in \mathcal{O}_n$ so dass die Bewertungskarte $\text{End}(\mathcal{O}_n) \rightarrow \mathcal{O_n},$ $\phi \mapsto \phi (x)$ ist injektiv.

Wenn nein, was ist das kleinste? $k \in \mathbb{N}$ für welche $x\in \mathcal{O}_n \otimes \mathbb{C}^k$ existiert so, dass die Karte $\text{End}(\mathcal{O}_n) \rightarrow \mathcal{O}_n \otimes \mathbb{C}^k$ gegeben durch $\phi \mapsto (\phi \otimes \mathrm{id}) (x)$ist injektiv? Ist es$k=n-1$?

Answer 1

Das ist wahr: $\mathcal O_n$ wird einzeln erzeugt, dh es existiert $x\in \mathcal O_n$ so dass $C^\ast(x) = \mathcal O_n$. Insbesondere wenn$\phi, \psi \colon \mathcal O_n \to B$ sind $\ast$-Homomorphismen wie $\phi(x) = \psi(x)$, dann $\phi = \psi$.

Es mag einen sehr direkten Weg geben, dies zu zeigen, aber hier ist ein Beweis dafür $n\geq 2$ ($n\neq \infty$): Wir werden Satz 1 aus dem Papier [C. Olsen und W. Zame, Einige C * -Algebren mit einem einzigen Generator, Trans. Amer. Mathematik. Soc. 215 (1976), 205–217], die besagt, dass wenn$A$ ist eine Einheit $C^\ast$-Algebra erzeugt von $k(k+1)/2$ Elemente davon $k(k-1)/2$ sind also selbstadjunkt $M_k(A)$ wird einzeln generiert.

Lassen $s_1,\dots, s_n \in \mathcal O_n$seien Sie die kanonischen Generatoren. Dann$M_n(\mathcal O_n) \to \mathcal O_n$ gegeben durch $(a_{i,j})_{i,j=1}^n \mapsto \sum_{i,j=1}^n s_i a_{i,j} s_j^\ast$ ist ein $\ast$-isomorphismus. Bestimmtes,$M_{n^2}(\mathcal O_n)\cong \mathcal O_n$Es reicht also aus, das zu zeigen $M_{n^2}(\mathcal O_n)$ wird einzeln generiert.

Beachten Sie, dass $\mathcal O_n$ wird generiert von $2n$ selbstadjunkte Elemente, nämlich $s_j + s_j^\ast$ und $i(s_j - s_j^\ast)$ zum $j=1,\dots, n$. Nehmen$A= \mathcal O_n$ und $k=n^2$ im obigen Satz (unter Verwendung dessen $n^2(n^2-1)/2 \geq 2n$ zum $n\geq 2$), es folgt dem $M_{n^2}(\mathcal O_n) \cong \mathcal O_n$ wird einzeln generiert.

Beachten Sie, dass der obige Satz konstruktiv ist. Wenn man also möchte, kann man einen expliziten einzelnen Geneator von aufschreiben $M_{n^2}(\mathcal O_n)$und benutze den Isomorphismus $M_n(M_n(\mathcal O_n)) \cong M_n(\mathcal O_n) \cong \mathcal O_n$ Ich habe oben beschrieben, um dieses Element in auszudrücken $\mathcal O_n$.

Es gilt auch für $\mathcal O_\infty$, aber mir fehlt ein elementarer Beweis. Sie können viel tiefere Maschinen verwenden, nämlich diese$\mathcal O_\infty$ ist $\mathcal Z$-stabil (dh $\mathcal O_\infty \otimes \mathcal Z \cong \mathcal O_\infty$ wo $\mathcal Z$ist die Jiang-Su-Algebra). Dann folgt aus dem Hauptergebnis von [Thiel, Hannes; Winter, Wilhelm Das Generatorproblem für Z-stabile C ∗ -Algebren. Trans. Amer. Mathematik. Soc. 366 (2014), No. 5, 2327–2343], die besagt, dass jede trennbare, unital$\mathcal Z$-stabil $C^\ast$-Algebra wird einzeln generiert.

Answer 2

Obwohl nicht genau das, was das OP im Sinn hat, gibt es eine weitere interessante Charakterisierung von Endomorphismen von $\mathcal O_n$in Bezug auf einzelne Elemente. Es gibt nämlich eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Endomorphismen von$\mathcal O_n$ und einheitliche Elemente von $\mathcal O_n$ wie folgt angegeben:

• Wenn $u$ ist ein einheitliches Element, definiert man einen Endomorphismus $\varphi _u$ durch Senden jedes Generators $S_i$ zu $uS_i$.

• Umgekehrt bei einem Endomorphismus $\varphi $definiert man das einheitliche Element $$ u_\varphi = \sum_{i=1}^n\varphi (S_i)S_i^*. $$

Es ist in der Tat sehr leicht zu zeigen, dass diese Entsprechungen umgekehrt sind.