Finden $\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})$

Question

$$\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(\dfrac{\cos{x}}{e^x}\right)$$

Von dort aus sehe ich das $e^x$ nähert sich $0$ während $\cos{x}$ oszilliert zwischen $-1$ und $1$.

Meine Antwort ist, dass das Limit nicht existiert . Was ist die richtige Begründung, um dies zu erklären? Schwingt die Grenze für immer, nähern Sie sich$\pm\infty$, usw.?

Answer 1

Ja, Ihre Idee ist richtig, um dies auf rigorose Weise zu zeigen $x_n= -2\pi n \to -\infty$ wie $n\to \infty$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=e^{-x_n}=\infty$$

und für $x_n= -\pi n$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=-e^{-x_n}=-\infty$$

Daher existiert das Limit nicht.

Answer 2

Nehmen $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, wo $k$ ist eine ganze Zahl und $k\rightarrow-\infty$.

Wir sehen das $e^{-x}\cos{x}=0.$

In einer anderen Hand, z $x=\pi k$ und $k\rightarrow-\infty$ wir haben $|e^{-x}\cos{x}|\rightarrow+\infty$.

Id est, das Limit existiert nicht.

Answer 3

Wenden Sie den Verhältnis-Test auf die Sequenz an $x=-2\pi n$.