Finden Sie die kleinste einfügbare Nummer
Sagen wir eine Nummer $n$ ist einfügbar, wenn für jede Ziffer $d$, wenn wir einfügen $d$ zwischen zwei beliebigen Ziffern von $n$dann ist die erhaltene Zahl ein Vielfaches von $d$. Zum Beispiel,$144$ ist nicht einfügbar, weil $1474$ ist nicht teilbar durch $7$.
Die Frage ist, die kleinste einfügbare positive ganze Zahl mit mindestens zwei Ziffern zu finden.
Es ist relativ leicht zu erkennen, dass eine solche Zahl durch teilbar sein muss $2520$ (vorausgesetzt es ist zumindest $4$-Ziffern lang). Ich habe auch ein Skript ausgeführt, um alle Ganzzahlen unter 75.000.000.000 ohne Erfolg zu überprüfen (das Problem könnte mein Code sein).
Haftungsausschluss. Ich weiß nicht, ob es eine solche Nummer gibt.
Antworten
Lassen $a_m....a_1a_0$eine beliebige einfügbare Nummer sein. Dann für jede Ziffer$d$ Wir müssen haben $$a_m..a_kda_{k-1}..a_0$$ ist ein Vielfaches von $d$.
Speziell, $$d| a_m..a_kda_{k-1}..a_0-a_m..a_ka_{k-1}d..a_0=10^{k-1}9(d-a_k)$$
Schon seit $7$ ist die einzige relativ Primzahl mit $10$ und $9$sollten wir uns konzentrieren $d=7$.
$d=7$ impliziert, dass $a_k=0,7$ für alle $k$.
Nächster, $d=9$impliziert, dass die Zahl mindestens 9 Siebenen enthalten muss. Da muss es enden$000$ das kleinstmögliche Beispiel ist in der Tat $777777777000$.
PS Das Obige zeigt, dass jede einfügbare Nummer alle Ziffern haben muss$0$ und $7$enthalten ein Vielfaches von $9$ Anzahl von $7$und enden in drei Nullen. Es ist leicht zu überprüfen, ob das Gegenteil auch wahr ist, ich denke es ist, aber ich bin zu faul: D.
Wir werden die Zahlen so charakterisieren, dass beim Einfügen von a $7$ dazwischen ist die Zahl noch ein Vielfaches von $7$.
Angenommen, die Nummer hat aufeinanderfolgende Ziffern $a$ und $b$ so dass $a$ ist nicht die am weitesten links stehende Ziffer.
Wir können die Zahl berücksichtigen, die gebildet wird, wenn Sie die setzen $7$ links von der $a$ und auch die Zahl, die gebildet wird, wenn Sie die setzen $7$ zwischen den $a$ und $b$. Beachten Sie, dass der Unterschied dieser Zahlen ein Vielfaches von ist$7$ist der Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen $9(7-a)$ multipliziert mit einer Potenz von $10$. Wir schließen daraus, dass jede Ziffer eine sein muss$7$ oder ein $0$außer möglicherweise den ersten und letzten. In unserem Fall wissen wir, dass die letzte Ziffer a ist$0$. Aber wenn dies passiert, muss es auch der erste sein$7$ weil sonst die nummer nicht funktioniert.
Daher darf die Zahl nur Nullen oder Siebenen haben.
Wenn die Nummer auf endet $70$ es wird nicht funktionieren, weil $780$ ist kein Vielfaches von $8$. Wenn es endet$700$ es wird nicht funktionieren, weil $700$ ist kein Vielfaches von $8$ (Beachten Sie, dass es mindestens gibt $9$ Ziffern, damit wir die setzen können $8$ nach links).
Unter der Bedingung, dass die Zahl ein Vielfaches von sein muss $9$ wir brauchen zumindest $7$ Nullen und die Zahl muss auf enden $00$. Die kleinste Zahl ist$777777777000$