Frage auf einem analytischen Zahlentheoriepapier
Meine Frage ist nur ein "Ich verstehe nicht, was in X von Papier Y vor sich geht", also weiß ich nicht, ob ich es posten kann; andererseits handelt es sich um Forschung. Ich habe es in Stackexchange gepostet, aber es hat keine erhalten Antworten, heißt das, dass ich es hier posten darf? Ich bin mir nie sicher.
Wie auch immer, meine Frage steht auf Christopher Hooleys Artikel über den dritten Moment für Primzahlen in arithmetischen Fortschritten ("Über den Satz VIII von Barban-Davenport-Halberstam"):
https://pdfs.semanticscholar.org/7b26/78e18a0dcc91f9309cb1da3291b727e0018f.pdf?_ga=2.81285395.505833362.1603308252-1695925416.1561972416
Für Variablen $z,z_1,\Delta $ er definiert zwei Größen, $\mathcal J_1(z,\Delta )$ und $\mathcal J_2(z_1,\Delta )$in Mengen $\Gamma _\Delta (\cdot )$. Was meine Frage betrifft, denke ich nicht, dass wir nichts darüber wissen müssen$\Gamma _\Delta (\cdot )$. Die Mengen$\mathcal J_1(z,\Delta )$ und $\mathcal J_2(z_1,\Delta )$sind wie folgt. Aus (64) ergibt sich \ [\ mathcal J_1 (z, \ Delta) = \ sum _ {l <z} \ frac {(zl) ^ 2} {l} \ Gamma _ \ Delta (l) \ sum _ { l_1 + l_2 = l} \ Gamma _ \ Delta (l_1) \ Gamma _ \ Delta (l_2) \] und aus (68) haben wir \ [\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) = \ sum _ {l <z_1 } (z_1-l) ^ 2l \ Gamma _ \ Delta (l) \ sum _ {l_1 + l_2 = l} \ Gamma _ \ Delta (l_1) \ Gamma _ \ Delta (l_2). \] Aus (112) we habe \ [(1) \ hspace {10mm} \ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) = \ text {Hauptbegriff} + \ mathcal O \ left (\ frac {\ Delta ^ \ epsilon z_1 ^ {7/2}} {z ^ {1/4}} \ right) + \ mathcal O ^ z \ left (\ Delta ^ \ epsilon z_1 ^ {7/2} e ^ {- \ sqrt {\ log (z_1 + 2)}} \ rechts) \] für jeden$z$ mit $z\geq z_1$, oben auf Seite 38. Hier das Symbol $\mathcal O^z(f)$ bezeichnet eine Menge, die ist $\mathcal O(f)$ und unabhängig von $z$, sagte auch oben auf Seite 38.
(Diese Einführung einer neuen Variablen wird durch den Ausdruck \ [\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) = \ sum _ {d <z \ atop {(d, 2 \ Delta) = 1}} \ frac {\ mu beschrieben ^ 2 (d)} {\ theta _2 (d)} \ sum _ {l <z_1 \ atop {l \ equiv 0 \ text {mod} d}} (z_1-l) ^ 2l \ sum _ {l_1 + l_2 = l} \ Gamma _ \ Delta (l_1) \ Gamma _ \ Delta (l_2) \], was die Gleichheit unmittelbar nach (68) und am Ende von Seite 37 ist, die besagt, dass wir das ändern können $d$ Summationsbereich von $d<z_1$ zu $d<z$ für jeden $z\geq z_1$, da der Zustand $d<z_1$ ist automatisch von der $l\equiv 0\text { mod }d$ Zustand in der $l$ Summe.)
Aus Lemma 3 (Seite 25) $\mathcal J_1(z,\Delta )$ und $\mathcal J_2(z_1,\Delta )$ sind verwandt durch \ [(2) \ hspace {10mm} \ mathcal J_1 (z, \ Delta) = \ frac {\ mathcal J_2 (z, \ Delta)} {z ^ 2} -6z \ int _ {0} ^ z \ frac {\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) dz_1} {z_1 ^ 4} + 12z ^ 2 \ int _ {0} ^ z \ frac {\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) dz_1} {z_1 ^ 5 }. \] Am Ende von Seite 38 und in der ersten Hälfte von Seite 39 sagt er, er füge ein $(1)$ in $(2)$ berechnen $\mathcal J_1(z,\Delta )$ bis zu einem Fehler \ [\ mathcal O \ left (\ Delta ^ \ epsilon z ^ {3/2} e ^ {- A '\ sqrt {\ log (z + 2)}} \ right) + \ mathcal O \ left (\ Delta ^ \ epsilon z \ int _1 ^ z \ frac {e ^ {- A '\ sqrt {\ log (u + 2)}}} {u ^ {1/2}} du \ right) \] \ [12z ^ 2 \ int _1 ^ \ infty \ mathcal O ^ z \ left (\ frac {\ Delta ^ \ epsilon e ^ {- A '\ sqrt {\ log (u + 2)}}} {u ^ { 3/2}} \ right) du + \ mathcal O \ left (z ^ 2 \ Delta ^ \ epsilon \ int _z ^ \ infty \ frac {e ^ {- A '\ sqrt {\ log (u + 2)} }} {u ^ {3/2}} du \ right) + O \ left (z ^ {7/4} \ Delta ^ \ epsilon \ int _1 ^ \ infty \ frac {du} {u ^ {3/2 }} \ right). \] Dann sagt er (in derselben Gleichungspassage), dass der obige Gesamtfehler \ [z ^ {3/2} \ Delta ^ \ epsilon e ^ {- A '\ sqrt {\ log (z +2)}} \] was mir angesichts der nicht richtig erscheint $12z^2$ Begriff.
Meine erste Frage ist einfach - ist das ein Fehler / Ausrutscher?
Wenn nicht, wie folgt es? Wenn es ein Fehler ist, was hätte er damit meinen können? Ich habe versucht herauszufinden, was er hätte bedeuten können, aber soweit ich sehen kann, auch wenn$(1)$ Lesen Sie stärker \ [\ mathcal J_2 (z_1, \ Delta) = \ text {Hauptbegriff} + \ mathcal O \ left (1 \ right) \] und wir haben dies in eingefügt $(2)$ Wir konnten einen Fehlerterm der Form \ [12z ^ 2 \ int _ {0} ^ z \ frac {dz_1} {z_1 ^ 5} \] nicht vermeiden, so dass wir nicht berechnen können $\mathcal J_1(z,\Delta )$ bis zu einem Fehler besser als $z^2$.
Dies würde jedoch bedeuten, dass das gesamte Ergebnis falsch ist, da der Hauptbegriff ungefähr so groß ist, sodass meine Interpretation / mein Verständnis eindeutig Unsinn ist. Meine zweite Frage lautet also: Kann jemand das von mir klären?
Antworten
Ich kopiere die relevante Gleichung. Sie werden sehen, dass der Autor auch einen Begriff einführt$z^2 H_4^\ast(\Delta)$mit $H_4^\ast(\Delta)=O(\Delta^\epsilon)$Das kümmert sich also um den Begriff, den Sie verpasst haben.
Hier $O^z(f)$ bezeichnet eine Menge, die ist $O(f)$ und unabhängig von $z$.