Frage zu Vector Space und Sub Space

Question

Lassen $A = \{(x, y, z, w) \in \mathbb F^4 | x - 3y + w = -7\}$. Ist$A$ein Vektorraum? Ist es ein Unterraum?

Ich möchte nur bestätigen, ob ich es richtig mache oder nicht.

Zum $A$ Um ein Vektorraum zu sein, muss er die Schließungseigenschaft für die Addition erfüllen.

Lassen $a_1 = (x_1, y_1, z_1, w_1)$ und $a_2 = (x_2, y_2, z_2, w_2)$.

$$\tag{1} x_1 - 3y_1 + w_1 = -7,$$

$$\tag{2}x_2 - 3y_2 + w_2 = -7,$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, w_1 + w_2)$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2) - 3 ( y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -7$$

$a_1 + a_2$ ist ein Element von $A$. Wenn wir (1) und (2) hinzufügen, erhalten wir:

$$(x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -14.$$

$a_1 + a_2$ ist kein Element von $A$. Daher$A$ ist kein Vektorraum und kein Unterraum.

Ist es richtig?

Answer 1

Nein, du machst es nicht richtig. Ihre Arbeit ist nicht unbedingt falsch, aber Sie haben den Punkt der Übung verpasst.

Die angegebene Menge enthält das Element nicht $(0,0,0,0)$. Daher ist es kein Unterraum von$\mathbb{F}^4$. Es ist nicht einmal ein Vektorraum, wenn wir die Eintrittsskalarmultiplikation und die Vektoraddition in Betracht ziehen.

Sie haben einige wichtige Schritte verpasst. Um zu überprüfen, ob etwas ein Vektorraum ist, müssen Sie eine ganze Reihe verschiedener Axiome überprüfen (8 verschiedene Axiome, abhängig von dem Buch, aus dem Sie gelernt haben). Um zu überprüfen, ob etwas ein Unterraum eines bestimmten Vektorraums ist, müssen Sie nur überprüfen, ob es unter beiden Operationen den Abschluss erfüllt und die additive Identität des Vektorraums enthält. Sie sollten diese Definitionen überprüfen, bevor Sie weitere Probleme lösen.

Answer 2

Jeder Vektor-Unterraum muss den Ursprung enthalten. Die Linien und Ebenen, die durch den Ursprung verlaufen, bilden Vektorunterräume.