Frobenius-Reziprozität verstehen

Question

Ich bin festgefahren, um den Beweis für den folgenden Satz zu verstehen:

Lassen $\pi$ eine irreduzible Darstellung von sein $G=GL_2$. Dann sind folgende äquivalent:

• $\pi$ entspricht einem Unterraum von $Ind_B^G \chi$ für einen Charakter $\chi$ von $T$ ;;
• $\pi$ enthält den trivialen Charakter von $N$.

Hier verwenden wir die üblichen Notationen: $B$ der Standard-Borel der oberen Dreiecksmatrizen, $N$ die unipotenten oberen Dreiecksmatrizen und $T$ der Torus diagonaler Matrizen.

Es wird erwähnt, dass dies eine einfache Folge der Frobenius-Gegenseitigkeit ist, aber ich verstehe nicht, wo es ins Spiel kommt.

Answer 1

Ich nehme an, Sie sprechen über endliche Gruppen und ihre komplexen Darstellungen.

Durch Frobenius Reziprozität wissen wir $Hom_N (1, \pi) \cong Hom_G (Ind^G _N 1, \pi)$ . Wir wissen auch, dass $Ind^G _N 1 \cong \sum_\chi Ind^G _B \chi$dies den Anspruch beweist.

Answer 2

Was Sie beschreiben, ist Harish-Chandra-Induktion und -Restriktion. Wenn$\psi$ ist ein Charakter von $T$, schreiben $R_T^G(\psi)$ zum $\psi$ aufgeblasen zu $B$und dann induziert zu $G$. Auf der anderen Seite, wenn$\chi$ ist ein Charakter von $G$, schreiben ${}^*R_T^G(\chi)$ für das Zeichen, das zuerst durch Beschränken auf erhalten wird $B$und dann den Unterraum dieses Raums nehmen, der von der unipotenten Untergruppe festgelegt wird $U$. Dies wird natürlich ein Charakter für$T$.

Frobenius Recpirocity, angewendet auf jeden Charakter von $G$ und jeder Charakter von $T$ergibt $\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle$. Um diesen Hinweis zu sehen, dass wir in der HC-Einschränkung alle Zeichen ignorieren, die nicht vom Torus aufgeblasen sind. So$$\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_B}\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_T}\rangle,$$ wo $\downarrow$ ist die Standardbeschränkung.

Andererseits ist die HC-Induktion einfach eine Standardinduktion von einem Borel, jedoch nur für bestimmte Zeichen. In diesem Fall$\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi\uparrow^G,\chi\rangle$. Damit vervollständigt die Frobenius-Reziprozität den Beweis.

Wenn $\pi$ enthält den trivialen Charakter von $N$, dann $\pi$ hat (die Inflation von) einen Charakter von $T$ in seiner Beschränkung auf $B$. Somit ist seine Harish-Chandra-Beschränkung ungleich Null. Lassen$\chi$sei einer der Bestandteile davon. Dann die HC-Induktion von$\chi$ muss enthalten $\pi$ durch die obige Aussage.