GARCH-Modell mit Hochfrequenz-Preisrendite
Ich möchte die Varianz zeitlich prognostizieren $k\delta$ basierend auf einer Preis- (Rendite-) Zeitreihe der Zeitschrittlänge $\delta$. Ich werde ein GARCH (1,1) -Modell auf Unterproben in Zeitintervallen anwenden$k\delta$ auf einer Aktienrendite-Zeitreihe $\big(r(i\delta,(i+1)\delta)\big)_{i=0}^I$ Jedes Element davon ist die Rückkehr zwischen der Zeit $i\delta$ und $(i+1)\delta$. Ich nehme die Rekursionsformel an$$h(t,t+k\delta) = c+a\,u(t-k\delta,t)^2 +b\,h(t-k\delta,t) \tag1$$ wo $h(t-k\delta,t)$ ist die geschätzte Varianz für und $r(t-k\delta,t)$ ist die Rückgabe für das Zeitintervall $(t-k\delta,t)$. Ich möchte die vollständige Rückkehrzeitreihe für Gleichung (1) verwenden.
Ist es richtig, die folgende Varianzschätzung für das Zeitintervall zu verwenden? $(t-k\delta,t)$? $$u(t-k\delta,t)^2 := \sum_{i=1}^k r\big(t-i\delta,r-(i-1)\delta\big)^2.$$ Dies wird dann als Varianz für das Zeitintervall in den Maximum-Likelihood-Optimierer eingesetzt $(t-k\delta,t)$ anstelle des üblichen einfachen Schätzers $r(t-k\delta,t)^2$. $\big(u(jk\delta,(j+1)k\delta)\big)_{j=0}^{q-1}$bildet eine neue Zeitreihe. Seine negative logarithmische Gaußsche Wahrscheinlichkeit$$l(a,b,c):=\sum_{j=0}^{q-1} \bigg( \frac{u(jk\delta,(j+1)k\delta)^2}{h(jk\delta,(j+1)k\delta)}+\ln h(jk\delta,(j+1)k\delta)\bigg).$$
Muss ich so etwas wie den realisierten Kernel verwenden, wie er in der Praxis in Realized Kernels: Trades and Quotes von Ole E. Barndorff-Nielsen, Peter R. Hansen, Asger Lunde und Neil Shephard erstellt wurde ?
Antworten
Das Skalieren der Länge des diskreten Zeitschritts in GARCH-Modellen ist aus dem Speicher überhaupt nicht einfach. Zum Beispiel können Sie Dinge nicht einfach mit der Quadratwurzel der Zeit multiplizieren, wie wir es für einige andere, einfachere Prozesse tun.
Für den Fall wo $\delta \rightarrow 0$Die Konvergenz wird in Nelson (1990) "ARCH Models as Diffusion Approximations" abgeleitet. Ich denke, es wurden auch einige Arbeiten zur Skalierung von einer diskreten Schrittlänge zur nächsten durchgeführt, aber die Referenz entgeht mir jetzt (aber dies würde effektiv die akademische Antwort auf Ihre Frage liefern, wenn Sie sie finden können).
In Bezug auf Ihre spezifischen Fragen ersetzen $u^2$ mit $\sum_i r_i^2$entspricht dem Ersetzen der quadratischen Rendite durch den realisierten Varianzschätzer. Das Ergebnis ist kein Standard GARCH - Modell (Ich glaube nicht , ...), obwohl ich es vermute recht gut empirisch durchführen würde, so nur , weil es nicht gut in den Standardrahmen paßt , ist kein Grund , es zu verlassen pro se .
Ob Sie so etwas wie Realisierte Kernel verwenden müssten, hängt ganz von der Länge ab $\delta$. Bei niedrigeren Frequenzen, z. B. 5 Minuten, können Sie die quadratischen Renditen ziemlich sicher summieren, ohne sich über das Rauschen der Mikrostruktur Gedanken machen zu müssen (obwohl dies natürlich alles von der Liquidität des zugrunde liegenden Vermögenswerts abhängt - je häufiger der Vermögenswert gehandelt wird, desto höher ist die Frequenz Sie können zu gehen, ohne sich um das Rauschen der Mikrostruktur sorgen zu müssen. Bei höheren Frequenzen, z. B. 5 Sekunden, müssten Sie wahrscheinlich einen Schätzer verwenden, der das Rauschen der Mikrostruktur korrigiert, z. B. realisierte Kernel.
Ein letzter Punkt von Interesse, wenn $c = 0$, und $a + b = 1$und wenn wir bereit sind, einige zusätzliche heroische Annahmen zu treffen, wie die realisierte Varianz, die über das Intervall zur wahren Varianz konvergiert $(t - k \delta, t)$, dann denke ich, dass das Modell, wie Sie es geschrieben haben, konvergiert, als $\delta \rightarrow 0$zur einfachen exponentiellen Standardglättung, z. B.: \ begin {Gleichung} \ hat {y} _t = \ alpha y_ {t-1} + (1 - \ alpha) \ hat {y} _ {t-1} \ end { Gleichung} Beachten Sie in dieser Gleichung$\hat{y}_t$ ist die Varianzprognose und $y_{t}$ist die wahre Varianz. Die "heroischen Annahmen" sind diejenigen, die notwendig sind, damit die realisierte Varianz zur wahren Varianz konvergiert.
ZUSÄTZLICH: Sie scheinen sich sehr darauf zu konzentrieren, ob Ihr Modell "korrekt" oder "legitim" ist. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Wörter hier keine wirkliche Bedeutung haben. Alle Modelle sind falsch. Und alle Schätztechniken sind ineffizient, außer unter idealen theoretischen Annahmen, die in der realen Welt selten (nie?) Befriedigt werden. Ich bin mir also nicht sicher, wie ich auf diesen Aspekt der Frage antworten soll. Vielleicht das:
Entscheidend ist, ob das Modell Ihnen hilft, Ihr Endziel zu erreichen. Ein mögliches Endziel könnte beispielsweise darin bestehen, eine Reihe von Volatilitätsprognosen zu finden, die nützliche Prädiktoren für die implizite Volatilität (dh Optionspreise) oder den VIX sind, damit Sie eine profitable Handelsregel entwerfen können. In diesem Fall könnte Ihre Metrik für "besser" und "schlechter" etwa so aussehen: "Finden Sie ein Volatilitätsprognosemodell mit einem kleineren quadratischen Fehler außerhalb der Stichprobe als die Standard-GARCH (1,1)". Nach meiner Erfahrung reduziert in diesem Zusammenhang das Ersetzen von quadratischen Renditen durch realisierte Varianzen, die aus Renditen mit höherer Frequenz über dasselbe Intervall erstellt wurden, fast immer den Schätzfehler und hilft Ihnen dabei, dieses Ziel zu erreichen.
In Bezug auf Schätzmethoden können wir dieselbe Logik anwenden. Sicher, die Theorie könnte Ihnen sagen, dass Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer mit Gaußschen Innovationen erstellen sollen, und soweit ich das beurteilen kann, sieht das, was Sie geschrieben haben, gut aus (aber ich mache hier keine Versprechungen - ich werde die Mathematik nicht selbst durcharbeiten überprüfe deine Arbeit :-). Dies bietet Ihnen jedoch möglicherweise nicht die beste Prognose außerhalb der Stichprobe. Nach meiner Erfahrung liefern robuste Schätzmethoden (dh solche, die die Auswirkungen von Beobachtungen am Ende der Verteilung verringern / eliminieren) tendenziell bessere Schätzungen, wenn mit Finanzdaten gearbeitet wird.