Grenze der Summe der Exponentialfunktionen unter root

Question

Wie kann man diese Grenze lösen? $$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\left(4*6^x-3*10^x+8*15^x\right)^{1/x}$$

Es ist gleich $15$und es scheint offensichtlich, dass es so ist. Ich kann es einfach nicht mathematisch schreiben.

Ich habe versucht, loszuwerden $1/x$ im Exponenten: $$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\left(4*6^x-3*10^x+8*15^x\right)^{1/x}=\exp \left(\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{\log \left(4*6^x-3*10^x+8*15^x\right)}{x}\right)$$

Dann wandte L'Hôpitals Regel an:

$$\frac{\partial \log \left(4*6^x-3*10^x+8*15^x\right)}{\partial x}=\frac{4*6^x (\log 6)+8*15^x (\log 15)-3*10^x (\log 10)}{4*6^x-3*10^x+8*15^x}$$

Also haben wir:

$$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\left(4*6^x-3*10^x+8*15^x\right)^{1/x}=\\\exp \left(\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{4*6^x \log (6)-3*10^x \log (10)+8*15^x \log (15)}{4*6^x-3*10^x+8*15^x}\right)$$

Ich kann die Regel wieder anwenden, aber sie wird nur noch komplizierter.

Ich habe auch über eine Substitution nachgedacht, kann aber nicht herausfinden, welche Substitution ich verwenden soll.

Answer 1

$$\lim_{x\to \infty}\left(4\times6^x-3\times10^x+8\times15^x\right)^{1/x}=\lim_{x\to \infty}(15^x)^{1/x}\left(4\times\frac{6^x}{15^x}-3\times \frac{10^x}{15^x}+8\right)^{1/x}$$

und wir haben $$(15^x)^{1/x}\left(4\times\frac{6^x}{15^x}-3\times \frac{10^x}{15^x}+8\right)^{1/x}<15(4\times 1-3\times 0+8)^{1/x}\to 15$$

$$(15^x)^{1/x}\left(4\times\frac{6^x}{15^x}-3\times \frac{10^x}{15^x}+8\right)^{1/x}>15(4\times 0-3\times 1+8)^{1/x}\to 15$$

Wenden Sie nun den Squeeze-Satz an.

Answer 2

Schreiben $(4∗6^x−3∗10^x+8∗15^x)^{1/x}$ wie $15\cdot (4\cdot (\frac{6}{15}) ^ x - 3 \cdot (\frac{10}{15})^x + 8)^{1/x}$ .

Beachten Sie, dass jeder Begriff in den Hauptklammern außer $8$ geht zu $0$ wie $x \to \infty$ und $8^0 = 1$.

Der Grenzwert ist also $15$.

Wenn Sie mit der Methode nicht zufrieden sind, verwenden Sie den Binomialsatz, um das Problem strenger zu lösen.

Answer 3

Der Schlüssel ist der in der Gleichung $4*6^x-3*10^x+8*15^x$, das $8*15^x$ Teil wird dazu neigen $100$% der gesamten Gleichung. Der Grund ist, dass$\frac{4*6^x}{8*15^x} \to 0$ wie $x \to \infty$ und $\frac{-3*10^x}{8*15^x} \to 0$ wie $x \to \infty$ weil die Zahl, die zur Potenz erhöht wird, kleiner ist.

Das lässt uns also mit $\lim_{x\to\infty}(8*15^x)^{1/x}$.

Wir können das aufteilen $\lim_{x\to\infty}(8^{1/x}15)$ weil $(15^x)^{1/x} = 15$.

Und weil $8^{1/x} \to 1$ das lässt uns nur mit $\lim_{x\to\infty}(15)$ Das ist 15.

Wenn Sie Fragen haben, fragen Sie einfach! :) :)