Hilbert-Modul vorbei $C_0(\Lambda)$ als Raum durchgehender Abschnitte des HIlbert-Bündels

Question

Lassen $\Lambda$ eine Mannigfaltigkeit sein und $p:H\to\Lambda$ ein durchgehendes Hilbert-Bündel mit $H(\lambda):=p^{-1}(\lambda)$. Annehmen$\Gamma_0^0(\Lambda)$ ist der Raum von durchgehenden Abschnitten, die im Unendlichen von verschwinden $H$. Das habe ich bewiesen$\Gamma_0^0(\Lambda)$ hat die Struktur von a $C_0(\Lambda)$ Modul (mit $C_0$der Raum kontinuierlicher Funktionen ist, die im Unendlichen verschwinden). Definieren$H_{\lambda}=\Gamma_0^0(\Lambda)/\overline{K_{\lambda}}$ wo $$K_{\lambda}=\text{span}\{f\varphi:\varphi\in \Gamma_0^0(\Lambda)\text{ and } f(\lambda)=0\}$$ Ich bin daran interessiert, das zu zeigen $H_{\lambda}$ ist isomorph zu $H(\lambda)$. Kennt jemand einen Weg, dies oder einen Hinweis mit einem ähnlichen Beweis zu beweisen? Ich bin auf Probleme gestoßen, weil$\overline{K_\lambda}$ ist nicht unbedingt der Kern der Evaluierungskarte von $\Gamma_0^0$ zu $\mathbb{C}$. Es gibt mehrere Verweise auf Eigenschaften, die dieser ähnlich sind, tatsächlich gibt es in der mathematischen Quantisierung von Nik Weaver ein ähnliches Ergebnis in Bezug auf$C(\Lambda)$ Module im Fall $\Lambda$ist ein kompakter Verteiler, aber es gibt keinen Beweis. Ich habe die von Weaver bereitgestellten Referenzen bereits überprüft und keinen Beweis gefunden.

Answer 1

Die Referenz, die ich in meinem Buch zitiert habe, ist Fell and Doran, Representations of${}^*$-Algebren, lokal kompakte Gruppen und Banach ${}^*$-Algebraische Bündel , vol. 1 (1988). Hast du dort nachgesehen? Ich habe keine Kopie zur Hand, aber ich erinnere mich, dass diese Behandlung sehr vollständig war.

Wenn das nicht funktioniert, können Sie sich meine Arbeit mit Chris Phillips ansehen, Module mit Normen, die Werte in einem C annehmen${}^*$-Algebra . Satz 8 liefert ein allgemeineres Ergebnis über Banach-Module / Banach-Bündel. Die vollständigen Beweise werden auch hier nicht gegeben, aber es gibt spezifische Hinweise auf Takahashis Dissertation Fields of Hilbert Modules (Tulane, 1971), die alle Lücken füllen sollte.