Hilfe bei einer Pearson-Chi-Quadrat-Testübung
Die folgende Übung stammt aus einem Bewertungstest aus Hongkong. Anfangs sah es aus wie ein GOF-Test, aber ich habe sie immer nur mit einer einzigen Datenspalte durchgeführt. Ich bin ein Mathe-Tutor, aber ich musste ihn übertragen, da ich das richtige Verfahren nicht erkannte. Und natürlich möchte ich, dass das nicht noch einmal passiert. Kann mir jemand den richtigen Weg zeigen, um dieses Problem anzugehen? Hier ist es:
Übung. Eine Zufallsstichprobe von 230 Arbeitnehmern in einem Unternehmen wurde auf ihre Zufriedenheit mit ihrem Leben befragt. Die Antwort auf ihre Zufriedenheit wurde zusammen mit ihrem Jahreslohn aufgezeichnet: $$ \begin{array}{lccccr} & \$\ text {20-35k} & \$\text{35-50k} & \$\ text {50-75k} & \$\text{75-90k} & \text{Total} \\ \text{Very satisfied} & 13 & 11 & 19 & 15 & 58 \\ \text{Somewhat satisfied} & 29 & 31 & 28 & 12 & 100 \\ \text{Not satisfied} & 34 & 20 & 10 & 8 & 72 \\ \text{Total} & 76 & 62 & 57 & 35 & 230 \\\hline \text{Pearson's Chi-square test} & \chi^2=20.0043 & \text{df}=6 & \text{p-value}<0.001 \end{array} $$ Angenommen, es gibt keinen Zusammenhang zwischen Einkommen und Lebenszufriedenheit. Wie viele Menschen, die zwischen 20 und 35.000 US-Dollar verdienen, würden Sie erwarten, mit dem Leben „nicht zufrieden“ zu sein?
Danke im Voraus!
Antworten
TIPP: Die erwarteten Werte sind definiert als die Häufigkeiten, die in jeder Zelle der Tabelle gefunden werden sollten, sofern keine Zuordnung zwischen den beiden Variablen besteht.
Der erwartete Wert für jede Zelle wird erhalten, indem die Zeilensumme mit der Spaltensumme multipliziert und dann durch die Gesamtsumme dividiert wird.
Nachfolgend finden Sie eine Analyse dieser Datentabelle unter Verwendung des chisq.testVerfahrens in R. Hier wird nichts als "geheim" eingestuft. Formeln für alles sollten im Lehrbuch enthalten sein.
Datentabelle:
vs = c(13,11,19,15)
ss = c(29,31,28,12)
ns = c(34,20,10, 8)
TBL = rbind(vs,ss,ns); TBL
[,1] [,2] [,3] [,4]
vs 13 11 19 15
ss 29 31 28 12
ns 34 20 10 8
rowSums(TBL)
vs ss ns
58 100 72
colSums(TBL)
[1] 76 62 57 35
Chi-Quadrat-Test:
Die Teststatistik ( X-sqim Ausdruck) lautet$$Q = \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^c \frac{(X_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},$$ wo der Tisch hat $r = 3$ Zeilen und $c = 4$ Säulen, $X_{ij}$ werden beobachtete Zellzahlen und $E_{ij}$ sind erwartete Zählungen, die aus Tabellenzeilen- und Spaltensummen gemäß der Nullhypothese bestimmt werden.
Vorausgesetzt, dass alle $E_{ij} \ge 5,$ die Teststatistik $Q$ hat ungefähr eine Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden $\nu = (r-1)(c-1) = 6.$
chi.out = chisq.test(TBL); chi.out
Pearson's Chi-squared test
data: TBL
X-squared = 20.008, df = 6, p-value = 0.00276
Beachten Sie, dass Sie die Ausgabe hier mit den in Ihrer Frage enthaltenen Ergebnissen abgleichen können. Das Erwartete zählt$E_{ij}$ stehen zur Verfügung:
chi.out$exp
[,1] [,2] [,3] [,4]
vs 19.16522 15.63478 14.37391 8.826087
ss 33.04348 26.95652 24.78261 15.217391
ns 23.79130 19.40870 17.84348 10.956522
Insbesondere kann nach der Antwort von @ Anatoly (+1) $ E_ {31} = \ frac {76 (72)} {230} = 23.7913 $ aus den entsprechenden Zeilen- und Spaltensummen der Tabelle erhalten werden.
Abbildung: Unten sehen Sie eine grafische Darstellung der Dichtefunktion von $ \ mathsf {Chisq} (\ nu = 6) $ zusammen mit dem kritischen Wert von 5% des Tests (vertikale gepunktete Linie) und dem beobachteten Wert von $ Q = 20,01 $ ( durchgezogene Linie). Das 95. Quantil $ c = 12.5916 $ der Chi-Quadrat-Verteilung kann in gedruckten Tabellen der Chi-Quadrat-Verteilung oder aus R gefunden werden (siehe unten).
qchisq(.95, 6)
[1] 12.59159
Der genaue P-Wert (hier 0,003 USD), der häufig in Computerausdrucken angezeigt wird, kann normalerweise nicht aus gedruckten Tabellen ermittelt werden. Der Wert von R ist unten gezeigt:
1 - pchisq(20.008, 6)
[1] 0.00276033
In der Figur unter dem Bereich rechts von $ c $ unter der Chi-Quadrat - Dichtekurve beträgt 5% und der (sehr kleine) Bereich rechts von $ Q $ ist $ 0.003. $
