Hull White Extended Vasicek Modell

Question

Ich versuche, eine Formel in dem wegweisenden Papier von Hull & White "Pricing Interest Rate Derivative Securities" (1990) zu verstehen. Ich kann nicht sehen, wie das Umordnen von (11) und das Anwenden von Randbedingungen zu (13) auf Seite 6 führt (siehe unten).

Könnten Sie mir bitte einen Hinweis geben und sich entschuldigen, wenn mein rudimentärer Kalkül schuld ist?

Answer 1

Sie haben Recht, Gleichung (11) wird mechanisch von (7) abgeleitet (indem die Ableitung wrt zu genommen wird $T$und dann wird kombiniert mit (7)), und irgendwie denken sie, dass (13) aus (11) erhalten werden kann, ohne sich an (7) zu erinnern. Vielleicht durch intelligente Integration (beachten Sie zum Beispiel das$B_tB_T - BB_{tT}$ ist der Zähler der Ableitung für $t$ der Fraktion $B/B_T$) und unter Verwendung der Randbedingung (ich konnte es nicht herausfinden).

Natürlich können , was wir tun , ist die Lösung erster Ordnung lineare Gleichung in$t$ (7)

$$ B_t = a(t)B-1. $$

Mit den üblichen primitiven Funktionen:

$$ \alpha'(t) = a(t), \; \; \beta'(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)}, $$

Die allgemeine Lösung für Gleichung (7) lautet

$$ B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t), $$

mit $c(T)$ beliebige Funktion von $T$.

Wie $B(T,T)=0$, Wir müssen haben:

$$c (T)= -\beta(T).$$

So:

$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right).$$

Wir können dann leicht überprüfen, ob diese Lösung (13) respektiert:

$$ B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right) $$

$$ B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right) $$

$$\partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta'(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)}$$

Bearbeiten : Beachten Sie, dass (11) wie folgt geschrieben werden kann:

$$ (B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T $$ das ist äquivalent zu $$ (\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}. $$

An dieser Stelle müssen wir uns aus (7) daran erinnern, dass die rechte Seite eine Funktion von ist $t$ nur, $a(t)$, sonst wird es umständlich, von hier aus voranzukommen. Die Lösung ist$$ B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)} $$ zum $ \gamma (T)$ eine beliebige Funktion von $T$. Integration von wrt zu$T$, wir bekommen:

$$ B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t)) $$ zum $ \eta (t)$ eine beliebige Funktion von $t$ und $\Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma}$.

Randbedingung $B(T,T)=0$ dann zwingt:

$$\Gamma(T) = -\eta(T). $$

So,

$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right).$$

Noch einmal, das zu bemerken

$$ B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t),$$

(7) impliziert dann:

$$\eta(t) = \beta(t). $$