Interpretation normaler Modi aus der mathematischen Formel

Question

Beim Thema kleine Schwingungen hat das folgende System einen normalen Modus, der beschrieben wird durch:

$$n_{1} = \frac{x1+x2}{2}.$$

Dieser normale Modus wird als symmetrischer Modus dargestellt:

In diesem Fall bewegt sich der Schwerpunkt als einfacher harmonischer Oszillator. Das Bild zeigt jedoch auch, dass beide unter den gleichen Anfangsbedingungen starten und sich in Phase bewegen. Meine Frage ist, wo sich diese Informationen auf der normalen Koordinate befinden$n_{1}$da ich den normalen Modus nicht mit dem Bild in Beziehung setzen kann, das ihn darstellt. Wo steht, dass die Blöcke in der Formel der Normalkoordinate in der gleichen Entfernung in die gleiche Richtung gestreut werden müssen?

Answer 1

Sie sollten beachten, dass die andere Normalkoordinate auf Null festgelegt ist, während Sie die Bewegung entlang der Normalkoordinate berücksichtigen $n_1$.

Die Normalkoordinaten von zwei Partikeln (oder in diesem Fall Blöcken) können im Allgemeinen wie folgt geschrieben werden \begin{align} n_1 =& a_{11} x_1 + a_{12} x_2, \\ n_2 =& a_{21} x_1 + a_{22} x_2.\label{eq: n1n2}\tag{1} \end{align} In Ihrem speziellen Fall $a_{11}=1/2$ und $a_{12} =1/2$. Ich habe nicht gerechnet$a_{21}$ und $a_{22}$, aber Sie sollten in der Lage sein, dies gemäß der Definition der normalen Modi zu tun.

Der obige Satz von Gleichungen kann gelöst werden $x_1$ und $x_2$ in Form von \begin{align} x_1 =& b_{11} n_1 + b_{12} n_2, \\ x_2 =& b_{21} n_1 + b_{22} n_2, \label{eq: x1x2}\tag{2} \end{align} wo $b_{ij}$ werden bestimmt durch $a_{ij}$. In der Tat können Sie durch Schreiben der obigen Gleichungssätze durch Matrizen und Vektoren bestätigen, dass \ begin {Gleichung} \ begin {pmatrix} b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {pmatrix} ^ {- 1}, \ end {Gleichung} wobei$A^{-1}$ bedeutet die inverse Matrix einer Matrix $A$.

Der erste Satz von Gleichungen (\ ref {eq: n1n2}) gibt die Koordinatentransformation aus den Koordinaten an $(x_1,x_2)$ Das war praktisch für Ihre Messung und andere Operationen zu den normalen Koordinaten $(n_1,n_2)$Dies ist praktisch für die Berechnung und eine Art von Interpretation, die mit der Berechnung verbunden ist. Die zweite Menge (\ ref {eq: x1x2}) gibt die inverse Transformation an. Das heißt, sobald Sie die Zeitentwicklung berechnet haben$n_1(t)$ und $n_2(t)$ Durch Lösen der Differentialgleichungen können Sie die Bewegung individuell vorhersagen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ der jeweiligen Teilchen durch (\ ref {eq: x1x2}).

Die Differentialgleichungen für die Normalkoordinaten sind \ begin {Gleichung} \ frac {d ^ 2 n_i} {dt ^ 2} = - \ omega_i ^ 2 n_i (t), \ end {Gleichung} für$i=1,2$, wo $\omega_i^2$ sind Konstanten, solange die auf den Block wirkende Kraft $l$ ist von der Form $F_l = - \sum_j c_{lj} x_j$ mit einigen Konstanten $c_{lj}$wie es bei Ihrem Problem der Fall ist. Die Funktion,$n_2(t) = 0$ für alle $t$ist eine gültige Lösung für diese Gleichung für die Anfangsbedingung, $n_2(0) =0$ und $[dn_2/dt](0) =0$. Angenommen, diese Bedingung wird durch (\ ref {eq: n1n2}) durch bestimmte Werte von erfüllt$x_j(0)$ und $[dx_j/dt](0)$ ($j=1,2$), die von Ihren Händen auf das Feder-Masse-System bei vorbereitet werden $t=0$. Diese$x_j(0)$ und $[dx_j/dt](0)$ ($j=1,2$) bestimmen auch die Anfangswerte von $n_1(0)$ und $[dn_1/dt](0)$und geben daher eine bestimmte Lösung $n_1(t)$der obigen Differentialgleichung. Mit diesem$n_1(t)$ und $n_2(t) =0$durch (\ ref {eq: x1x2}) wird die Bewegung der Blöcke als gesehen \begin{align} x_1(t) =& b_{11} n_1(t), \\ x_2(t) =& b_{21} n_1(t). \end{align} Wenn $b_{11} =b_{21}$, dann $x_1(t) =x_2(t)$dh die Bewegung der beiden Blöcke ist gleich. Sie sollten das tatsächlich sehen können$b_{11} = b_{21}$ für Ihr System.

Answer 2

I) Bewegungsgleichungen

Kinetische Energie :

$$T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2_1+\dot{x}_2^2\right)$$

Potenzielle Energie

$$U=\frac{k}{2}\left(x_1^2+(x_2-x_1)^2+x_2^2\right)$$

mit Euler Langrage erhalten Sie:

$${\ddot x}_{{1}}+{\frac {2\,kx_{{1}}-kx_{{2}}}{m}}=0\tag 1$$

$${\ddot x}_{{2}}+{\frac {2\,kx_{{2}}-kx_{{1}}}{m}}=0\tag 2$$

II) Bewegungsgleichungen: Normalmodus

Im normalen Raum lauten die Bewegungsgleichungen:

$$\ddot n_1+\omega_1^2\,n_1=0\tag 3$$ $$\ddot n_2+\omega_2^2\,n_2=0\tag 4$$

Um die Gleichungen (3) und (4) zu erhalten, müssen wir die Koordinaten transformieren $~x_1~,x_2$ zu $~n_1~,n_2$

Dies kann mit diesen Gleichungen erfolgen

$$n_1=\frac 12(x_1+x_2)$$ $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$ $\Rightarrow~$ $$x_1=n_1+n_2$$ $$x_2=n_1-n_2$$

Mit dieser Transformation erhalten Sie:

$$\ddot n_1+\frac km\,n_1=0\tag 5$$ $$\ddot n_2+\frac{3\,k}{m}\,n_2=0\tag 6$$

Anmerkung:

Sie erhalten die gleiche Ergebnisgleichung $(~5~,6~)$Wenn Sie diese Transformation erhalten:

die Schwerpunktkoordinate für n_1:

$$n_1=\frac{m\,(x_1+x_2)}{2\,m}=\frac 12(x_1+x_2)$$ und $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$