Jedes Feld ist ein lokaler Ring

Question

Ich habe eine kurze Frage zu einem lokalen Ring. Ich habe gerade das Konzept gesehen und im Internet nachgeschlagen.

Ich fragte mich, ob es wahr ist, dass jedes Feld ein lokaler Ring ist.

weil ${0}$ist das einzige maximale Ideal. Ich bin mir nicht sicher, weil ich das nicht beweisen kann, wenn$R$ ist dann nur ein Feld ${0}$ und $R$ sind Ideale.

Answer 1

Wenn $R$ ist ein Feld und $I\ne\{0\}$ ist ein Ideal, nehmen $r\in I$, $r\ne0$. Dann$$ 1=rr^{-1}\in I $$ damit $I=R$.

Im Allgemeinen ein kommutativer Ring $R$ ist genau dann lokal, wenn die Menge der nicht umkehrbaren Elemente von $R$ ist ein Ideal.