Klasse 8-9 Mathe-Olympiade Problem

Question

Ich habe mir die Olympiadenprobleme meines Bruders für die Klasse angesehen $9$und das Problem war:

$$\bigg(2x+\frac{1}{x}\bigg)\bigg(y+\frac{1}{y}\bigg)=4\sqrt{2}$$

Bei den Fragen wird nach dem ganzzahligen Teil von gefragt $x-y$.

Ich weiß, dass dies algebraisch ein Manipulationsproblem ist, um die gewünschte Form zu erhalten $(x-y)$und habe versucht, algebraisch in vielerlei Hinsicht neu zu ordnen, aber ich bin ziemlich festgefahren.

Kann mir jemand helfen oder mir Hinweise geben?

Answer 1

Wir haben von AM-GM,

$$y+\frac{1}{y} \ge 2$$

mit Gleichheit für $$y=\dfrac{1}{y}$$

und

$$2x+\frac{1}{x} \ge 2\sqrt{2}$$

mit Gleichheit für $$2x=\dfrac{1}{x}$$

Kannst du fertig werden?

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Beachten Sie, dass

$$ y+\frac{1}{y} = (\sqrt{y} - \dfrac{1}{\sqrt{y}})^2 + 2$$

Ähnlich,

$$ 2x+\frac{1}{x} = (\sqrt{2x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}})^2 + 2\sqrt{2}$$

Und das Minimum wird erhalten, wenn der variable Teil Null ist.

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Der Vollständigkeit halber

$$ \min (y+\frac{1}{y}) = 2$$ beim $y=1$

$$ \min (2x+\frac{1}{x}) = 2\sqrt{2}$$ beim $x=1/\sqrt{2}$

$$ \min (2x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y}) = 4\sqrt{2}$$

Damit $$x-y = 1/\sqrt{2} - 1 = -1 + 1/\sqrt{2}$$

Jetzt können Sie den ganzzahligen Teil herausfinden.

Answer 2

Verwenden von AMGM:

$$2x + \frac1x \ge 2\sqrt2, \ y + \frac1y \ge 2$$

AMGM hat einige strenge Gleichstellungsbedingungen.