Logarithmus der komplexen Zahl

Question

Generell für Logarithmen Wenn ich habe $2^4=16$ dann heißt es $\log_2(16)=4$ (Hier ist 2 die Basis)

Der Wert des Logarithmus sagt uns also im Grunde, wie oft die Basis für die Zahl multipliziert werden muss.

Wenn wir ln nehmen, bedeutet das einfach, dass die Basis e ist

Nun beginnt meine Frage

Was ist der Logarithmus einer komplexen Zahl?

Ich dachte, da der Logarithmus uns sagt, wie oft wir die Basis multiplizieren sollen. Wenn ich Logarithmus nehmen würde, würde ich reelle Zahlen erhalten. Denn unabhängig von der Zahl, wenn reelle Zahlen multipliziert werden, ist die Antwort reell.

Aber das Buch, das ich habe, sagt, dass es komplex ist. Es hat sogar eine Ableitung dafür.

Kann jemand Logarithmen komplexer Zahlen erklären, die sich auf reelle Zahlen beziehen, oder zumindest einige Ressourcen gemeinsam nutzen?

Vielen Dank

Answer 1

Beachten Sie, dass eine komplexe Zahl $z$ kann geschrieben werden als $$z=|z|e^{i\theta}$$

Wo $|x|$ bedeutet das Modul von $x$

Also der Logarithim von $z$ wäre

$$z=|z|e^{i\theta}\\ \log z=\log (|z|e^{i\theta})\\ \log z= \log{|z|+\log{e^{i\theta}}}\\ \log{z}=\log{|z|}+i\theta$$

Zur Berechnung von $|z|$wir können einfach den pitagoreischen Satz verwenden. Zur Berechnung von$\theta$ wir können die verwenden $\arctan \theta$da wir sowohl die angrenzende als auch die gegenüberliegende Seite kennen. Beachte das$\theta$ ist nicht nur eine Lösung, weil $\tan{(\theta+2\pi n)}= \tan{\theta}$Wir bekommen also tatsächlich einen Zweig von Lösungen. Trotz dieser Tatsache verwenden wir normalerweise nur die Hauptversion, die zum Set gehört$(-\pi,\pi]$