Massenschwerpunkt eines Kreises

Question

Ich versuche, den Schwerpunkt eines Sektors einer Kreisscheibe mit Radius zu berechnen $a$ und Scheitelwinkel $2\alpha$ und Dichte $\rho$ = 1

Ich fand die Messe mit $$\int\int_R \rho dxdy= a^2\alpha$$

Ich fand dann den Moment um die x-Achse als $$2\int_{0}^{\alpha}\int_{0}^{a}r\cos\theta rdrd\theta=\frac{2a}{3\alpha}\sin\alpha$$ und dann den Moment um die y-Achse als $$2\int_{0}^{\alpha}\int_{0}^{a}r\sin\theta rdrd\theta=\frac{2a}{3\alpha}(1-\cos\alpha)=\frac{4a}{3\alpha}(\sin\frac{\alpha}{2})$$Mein x-Moment scheint richtig zu sein, aber irgendwie sollte der Moment für die y-Achse Null sein, da der Schwerpunkt auf der a-xis zu liegen scheint. Sollte die Berechnung dann nicht auch eine Null ergeben? ... Wo gehe ich falsch?

Answer 1

Das Problem liegt darin, wie Sie Ihr Winkelintegral geschrieben haben. Es ist nicht$$2\int_0^\alpha...,$$ aber $$\int_{-\alpha}^{\alpha}...$$ Dann wirst du haben $\cos\alpha-\cos(-\alpha)=0$.