Methode der Bilder / Eindeutigkeit der Ladungsdichte

Question

Angenommen, ich möchte das Potenzial finden, das mit einer leitenden Kugel und einer externen Punktladung erzeugt wird. Wenn wir die Methode der Bilder verwenden, um das Potential zu finden, wissen wir, dass dieses Potential für den interessierenden Bereich (außerhalb der Kugel) eindeutig ist, solange es an allen Grenzen definiert ist und solange die Ladungsdichte in dem Bereich angegeben ist .

Wenn ich die Oberflächenladungsdichte des Leiters anhand des Potentials ermitteln wollte $V$ über die Methode der Bilder angekommen, kann ich das mit tun

$$ \sigma=\frac{1}{4\pi}E_r = -\frac{1}{4\pi}\frac{\partial V}{\partial r}. $$

Aus mathematischer Sicht ist dies sinnvoll. Aber wie kann eine Sammlung von Punktladungen eine kontinuierliche Ladungsverteilung wiederherstellen? Die Methode der Bilder betont die Einzigartigkeit der Lösungen, und ich denke, das liegt daran$V$ ist dann eindeutig bestimmt $\rho$muss auch sein. Aber ich kann mich nicht darum kümmern, wie 3-Punkt-Ladungen eine einzigartige, kontinuierliche Ladungsdichte erzeugen können. Ich würde denken, es sollte eine Sammlung von Delta-Funktionen sein.

Answer 1

Aber wie kann eine Sammlung von Punktladungen eine kontinuierliche Ladungsverteilung wiederherstellen? Die Methode der Bilder betont die Einzigartigkeit der Lösungen, und ich denke, das liegt daran$V$ ist dann eindeutig bestimmt $\rho$ muss auch sein.

Die Argumentation ist etwas komplexer. Die Eindeutigkeit sagt uns, dass, wenn Sie das Potential auf einer Oberfläche angeben und verlangen, dass keine Ladung außerhalb der Oberfläche vorhanden ist, das Potential außerhalb der Oberfläche eindeutig bestimmt wird. Tatsächlich erzeugen sowohl die tatsächliche Ladungsverteilung als auch die Bildladungen außen das gleiche Potential, obwohl sie innen unterschiedliche Ladungsverteilungen und Potentiale aufweisen.

Mithilfe der Bildladungskonfiguration können Sie jetzt das Potenzial im Freien leicht bestimmen. Um die tatsächliche Ladungsverteilung zu erhalten, legen Sie zusätzlich die Bedingung fest, dass das Potential im Inneren gleichmäßig ist. Mit dieser zusätzlichen Bedingung haben Sie jetzt überall das Potenzial, das die Ladungsverteilung überall bestimmt. Mit anderen Worten, alles, was der Bildladungstrick macht, ist, Ihnen eine einfache Möglichkeit zu geben, das Potenzial außerhalb zu berechnen, was der Teil ist, der tatsächlich einzigartig ist.

Übrigens sollte die Tatsache, dass eine Ladungsverteilung innerhalb einer Oberfläche nicht eindeutig durch Randbedingungen auf einer Oberfläche bestimmt wird, sehr bekannt sein. Das Schalen-Theorem besagt, dass die Potentiale außerhalb einer gleichmäßig geladenen Kugelschale und eine Punktladung im Zentrum identisch sind.