Motivation hinter bestimmten Integrationsfaktoren

Question

In diesem Artikel über exakte Differentialgleichungen haben sie für das vierte Beispiel die Differentialgleichung:

$$ (5xy^2 - 2y) dx + (3xy^2 -x) dy = 0$$

Und sie sagen, dass sie einen integrierenden Faktor dafür haben $$ \mu(x,y) = x^a y^b$$

Jetzt verstehe ich nicht, wie sie angekommen sind, dass dies korrekte Integrationsfaktoren für das Problem sein sollten. Natürlich erfüllt dieser Integrationsfaktor die Anforderung, dass die Teiltöne zweiter Ordnung pendeln, aber ich kann nicht wirklich verstehen, wie ich darauf gekommen wäre, wenn nicht bereits gesagt worden wäre, dass dies der Integrationsfaktor ist.

Wenn nicht, für welche Arten von Differentialgleichungen würde dieser Integrationsfaktor funktionieren?

---

Ähnlicher Beitrag dazu

Ich habe diesen Beitrag bereits gesehen und er ist nicht der gleiche wie meiner, da die Frage nicht wirklich den von mir erwähnten Integrationsfaktor betraf, sondern alternative Methoden.

Answer 1

$$(5xy^2 - 2y) dx + (\color{red}{3xy^2 }-x) dy = 0$$ Sie haben einen kleinen Fehler gemacht. Die richtige Differentialgleichung lautet: $$(5xy^2 - 2y) dx + (3x^2y -x) dy = 0$$ Mal $x$:: $$(5x^2y^2 - 2yx) dx + (3x^3y -x^2) dy = 0$$ Ordnen Sie einige Begriffe neu an: $$(5x^2y^2dx + 3x^3ydy)-(ydx^2 +x^2 dy) = 0$$ $$(5x^2y^2dx + 3x^3ydy)-d(x^2y) = 0$$

Der integrierende Faktor ist jetzt offensichtlich: $$\mu(x,y)=x^2y$$ $$(5x^4y^3dx + 3x^5y^2dy)-x^2yd(x^2y) = 0$$ $$d(x^5y^3)-x^2yd(x^2y) = 0$$ Dann integrieren: $$2x^5y^3-x^4y^2 = C$$

Answer 2

Wenn wegen $(5xy^2-2y)~dx+(3xy^2-x)~dy=0$ sollten wir einen anderen Ansatz brauchen:

$(5xy^2-2y)~dx+(3xy^2-x)~dy=0$

$\dfrac{dx}{dy}=-\dfrac{3xy^2-x}{5xy^2-2y}$

Lassen $x=yu$ ,

Dann $\dfrac{dx}{dy}=y\dfrac{du}{dy}+u$

$\therefore y\dfrac{du}{dy}+u=-\dfrac{3y^3u-yu}{5y^3u-2y}$

$y\dfrac{du}{dy}=-\dfrac{3y^3u-yu}{5y^3u-2y}-u$

$y\dfrac{du}{dy}=-\dfrac{5y^3u^2+3y^3u-3yu}{5y^3u-2y}$

$y\dfrac{du}{dy}=-\dfrac{5y^2u^2+3y^2u-3u}{5y^2u-2}$

Lassen $r=y^2$ ,

Dann $\dfrac{du}{dy}=\dfrac{du}{dr}\dfrac{dr}{dy}=2y\dfrac{du}{dr}$

$\therefore2y^2\dfrac{du}{dr}=-\dfrac{5y^2u^2+3y^2u-3u}{5y^2u-2}$

$2r\dfrac{du}{dr}=-\dfrac{5ru^2+3ru-3u}{5ru-2}$

$(2-5ru)\dfrac{du}{dr}=\dfrac{5u^2}{2}+\dfrac{3(r-1)u}{2r}$

Dies gehört zu einer Abel-Gleichung der zweiten Art.