Nach Tychonoffs Theorem

Question

Lassen $x_n:[0,1]\rightarrow E$ eine Folge von Anwendungen, wo $E$ist ein normierter Raum. Angenommen, das für jeden$t\in [0,1]$ $$\left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \} \text{ is weakly compact.}$$

Behauptung: Nach dem Satz von Tychonoff kann man das bekommen:

$$\left \{ x_n(.):\; n\in \mathbb N\right \}=\prod_{t\in [0,1]} \left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \}$$ ist schwach kompakt in $\mathcal{A}([0,1],E)$, wo $\mathcal{A}([0,1],E)$ ist der Anwendungsbereich von $[0,1]$ zu $E$.

Problem : Die linke Seite der Gleichheit ist eine Teilmenge von$\mathcal{A}([0,1],E)$, während die rechte Seite eine Teilmenge von ist $\{x_n([0,1]): n\in \mathbb N\}$!

Ich weiß, dass die folgende Anwendung bijektiv ist $$\begin{matrix} \Phi: \mathcal{A}([0,1],E)& \rightarrow & E^{[0,1]}\\ x &\mapsto & \big(x(t)\big)_{t\in [0,1]} \end{matrix}$$

aber ich weiß nicht, wie ich es verwenden soll, wenn sein Homöomorphismus mein Problem offensichtlich sein wird.

Answer 1

Die rechte Seite (nach der Definition eines unendlichen Produkts) befindet sich ebenfalls in$\mathcal{A}([0,1],E)$.

Ihre $\Phi$ist die Identität. Es gibt nichts zu beweisen.

IMO, es ist die Notation $\{x_n(\cdot): n \in \Bbb N\}$ das ist merkwürdig.