Offene Sets mit geschlossenem Set

Question

Lassen $A,B$ 2 disjunkte geschlossene Mengen in einem metrischen Bereich sein $(X,d)$ ich weiß das $A=\cap_{n\in \Bbb N}C_n$ wo $C_n=\{x\in X:d(x,A)<1/n\}$ und $B=\cap_{n\in \Bbb N}D_n$ wo $D_n=\{x\in X:d(x,B)<1/n\}$.

Es scheint richtig, dass $\exists n \in \Bbb N$ so dass $C_n\cap D_n=\emptyset$.

Meine Idee ist, nicht anzunehmen und eine Sequenz zu erstellen $x_n\in C_n\cap D_n\forall n\in \Bbb N$. Aber ich blieb stecken, um den Widerspruch zu finden.

Answer 1

Nein, das ist nicht richtig. Nehmen Sie zum Beispiel$X = \mathbb R^2$ ausgestattet mit der euklidischen Metrik, $A=\{(x,0) \mid x \in \mathbb R\}$ und $B = \{(x, 1/x) \mid x \neq 0\}$.

Dies gilt jedoch, wenn eine der Teilmengen kompakt sein soll.